Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green para retângulo:
, onde é a fronteira do retângulo orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais de linha usando o Teorema de Green. A questão pede para calcular a integral ao longo da fronteira de um retângulo específico. Para isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Green e como aplicá-lo a essa situação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Green. Ele relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. Matematicamente, se temos uma integral de linha do tipo:
Ela pode ser convertida para uma integral dupla:
No nosso caso, temos e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:

Passo 4

Agora vamos definir os limites de integração. O retângulo é dado por e . Então, a integral dupla fica:

Passo 5

Vamos integrar primeiro em relação a :
Então, a integral dupla se torna:

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a :
Calculando:
Então, a integral dupla é .

Resposta

A integral de linha é igual a .

Exercícios relacionados

Calcule as integrais de linhas:
e são as fronteiras dos e orientados no sentido horário e anti-horário, respectivamente.
Calcule as integrais de linhas:
, onde é a fronteira do triângulo com vértices e orientado no sentido horário.
Seja e . Calcular, se existir, cada um dos seguintes limites:
.
a) ( 1,0 ponto) Represente no espaço tridimensional de forma clara as coordenadas esféricas de um ponto . Descreva a relação das coordenadas esféricas do ponto com suas coordenadas cartesianas a partir das relaçōes trigonométricas em um triângulo retângulo, deixando clara a variação de cada ângulo descrito.