Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green para retângulo:
ointgamma(y^3+5 x y) d x+y^5 d y, onde gamma é a fronteira do retângulo K=(x, y) in R^2, 1 <= x <= 5,0 <= y <= 3 orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais de linha usando o Teorema de Green. A questão pede para calcular a integral ao longo da fronteira de um retângulo específico. Para isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Green e como aplicá-lo a essa situação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Green. Ele relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. Matematicamente, se temos uma integral de linha do tipo:
ointgamma P,dx + Q,dy
Ela pode ser convertida para uma integral dupla:
integral duplaK ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx,dy
No nosso caso, temos e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x (y^5) = 0
partial Ppartial y = partialpartial y (y^3 + 5xy) = 3y^2 + 5x
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:
integral duplaK (0 - (3y^2 + 5x)) dx,dy = -integral duplaK (3y^2 + 5x) dx,dy

Passo 4

Agora vamos definir os limites de integração. O retângulo -integralx=1^5 integraly=0^3 (3y^2 + 5x) dy,dx é dado por e . Então, a integral dupla fica:

Passo 5

Vamos integrar primeiro em relação a integral0^3 (3y^2 + 5x) dy = [ y^3 + 5x y ]0^3 = 3^3 + 5x cdot 3 - 0 = 27 + 15x :
-integral1^5 (27 + 15x) dx
Então, a integral dupla se torna:

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a integral1^5 (27 + 15x) dx = [ 27x + 152x^2 ]1^5 = (27 cdot 5 + 152 cdot 25) - (27 cdot 1 + 152 cdot 1) :
(135 + 187.5) - (27 + 7.5) = 322.5 - 34.5 = 288
Calculando:
Então, a integral dupla é .

Resposta

A integral de linha é igual a .

Exercícios relacionados