Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green para retângulo:
, onde
é a fronteira do retângulo
orientado no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais de linha usando o Teorema de Green. A questão pede para calcular a integral ao longo da fronteira de um retângulo específico. Para isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Green e como aplicá-lo a essa situação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Green. Ele relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. Matematicamente, se temos uma integral de linha do tipo:
Ela pode ser convertida para uma integral dupla:
No nosso caso, temos
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:
Passo 4
Agora vamos definir os limites de integração. O retângulo
é dado por
e
. Então, a integral dupla fica:
Passo 5
Vamos integrar primeiro em relação a
:
Então, a integral dupla se torna:
Passo 6
Agora, vamos integrar em relação a
:
Calculando:
Então, a integral dupla é
.
Resposta
A integral de linha é igual a
.