Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green para retângulo:
ointgamma(y^2+x^2) d x+e^x d y, onde gamma é a fronteira do retângulo K=(x, y) in R^2, 0 <= x <= 2,0 <= y <= 1 orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. O enunciado nos dá uma integral ao longo da fronteira de um retângulo , orientada no sentido anti-horário. Para isso, vamos precisar entender como o Teorema de Green transforma uma integral de linha em uma integral dupla, o que facilita bastante o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada ointgamma M , dx + N , dy = integral duplaK ( partial Npartial x - partial Mpartial y ) dA com uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita. A fórmula é:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais que aparecem na fórmula. Primeiro, calculamos partial Npartial x = partialpartial x (e^x) = e^x :
partial Mpartial y = partialpartial y (y^2 + x^2) = 2y
Agora, calculamos :

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green, temos:
ointgamma (y^2 + x^2) dx + e^x dy = integral duplaK ( e^x - 2y ) dA
Agora, vamos integrar essa função sobre o retângulo com os limites e .

Passo 5

Vamos separar a integral dupla em integrais iteradas:
integral duplaK ( e^x - 2y ) dA = integral0^2 integral0^1 ( e^x - 2y ) dy , dx
Primeiro, integramos em relação a integral0^1 ( e^x - 2y ) dy = e^x cdot y - y^2 gr|0^1 = e^x cdot 1 - 1^2 - (0 - 0) = e^x - 1 :
integral0^2 (e^x - 1) dx = integral0^2 e^x dx - integral0^2 1 , dx = e^x gr|0^2 - x gr|0^2 = (e^2 - e^0) - (2 - 0) = e^2 - 1 - 2 = e^2 - 3
Agora, integramos esse resultado em relação a :

Resposta

Portanto, o valor da integral de linha é .

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