Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green para retângulo: , onde é a fronteira do retângulo orientado no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. O enunciado nos dá uma integral ao longo da fronteira de um retângulo , orientada no sentido anti-horário. Para isso, vamos precisar entender como o Teorema de Green transforma uma integral de linha em uma integral dupla, o que facilita bastante o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita. A fórmula é:
Aqui, e .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais que aparecem na fórmula. Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos :
Passo 4
Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green, temos:
Agora, vamos integrar essa função sobre o retângulo com os limites e .
Passo 5
Vamos separar a integral dupla em integrais iteradas: