Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green para retângulo:
, onde é a fronteira do retângulo orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. O enunciado nos dá uma integral ao longo da fronteira de um retângulo , orientada no sentido anti-horário. Para isso, vamos precisar entender como o Teorema de Green transforma uma integral de linha em uma integral dupla, o que facilita bastante o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita. A fórmula é:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais que aparecem na fórmula. Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos :

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green, temos:
Agora, vamos integrar essa função sobre o retângulo com os limites e .

Passo 5

Vamos separar a integral dupla em integrais iteradas:
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, integramos esse resultado em relação a :

Resposta

Portanto, o valor da integral de linha é .

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Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green para retângulo:
, onde é a fronteira do retângulo , orientado no sentido anti-horário.
Verifique se as seguintes funções são contínuas em .
Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green:
, onde é a fronteira do círculo orientado no sentido anti-horário.
Calcule as integrais de linhas:
, onde é a fronteira do triângulo com vértices e orientado no sentido horário.