Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green:
, onde é a fronteira do círculo orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral de linha da forma , onde é a fronteira do círculo , orientado no sentido anti-horário. Vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais duplas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que para uma curva fechada que é a fronteira de uma região no plano, a integral de linha é igual à integral dupla sobre de . Ou seja:

Passo 3

Vamos identificar e na nossa integral:
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais e .

Passo 4

Calculando :
E calculando :

Passo 5

Agora, aplicando o Teorema de Green:
Ou seja, a integral de linha é igual a 4 vezes a área da região .

Passo 6

A região é o círculo de raio 1, então a área é:
Á

Passo 7

Portanto, a integral de linha é:

Resposta

A integral de linha vale .

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Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green para retângulo:
, onde é a fronteira do retângulo orientado no sentido anti-horário.
Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green para retângulo:
, onde é a fronteira do retângulo , orientado no sentido anti-horário.
Calcule as integrais de linhas:
, onde é a fronteira do triângulo com vértices e orientado no sentido horário.
Calcule as integrais de linhas:
e são as fronteiras dos e orientados no sentido horário e anti-horário, respectivamente.