Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green:
, onde
é a fronteira do círculo
orientado no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral de linha da forma
, onde
é a fronteira do círculo
, orientado no sentido anti-horário. Vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais duplas, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que para uma curva fechada
que é a fronteira de uma região
no plano, a integral de linha
é igual à integral dupla sobre
de
. Ou seja:
Passo 3
Vamos identificar
e
na nossa integral:
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais
e
.
Passo 4
Calculando
:
E calculando
:
Passo 5
Agora, aplicando o Teorema de Green:
Ou seja, a integral de linha é igual a 4 vezes a área da região
.
Passo 6
A região
é o círculo de raio 1, então a área é:
Passo 7
Portanto, a integral de linha é:
Resposta
A integral de linha vale
.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green para retângulo:
, onde
é a fronteira do retângulo
orientado no sentido anti-horário.
Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green para retângulo:
, onde
é a fronteira do retângulo
,
orientado no sentido anti-horário.
Calcule as integrais de linhas:
, onde
é a fronteira do triângulo
com vértices
e
orientado no sentido horário.
Calcule as integrais de linhas:
e
são as fronteiras dos
e
orientados no sentido horário e anti-horário, respectivamente.