Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green:
ointgamma(ln (x)-2 y) d x+(2 x+e^y) d y, onde gamma é a fronteira do círculo K=(x, y) in R^2, x^2+y^2 <= 1 orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral de linha da forma ointgamma (ln (x) - 2y) dx + (2x + e^y) dy, onde gamma é a fronteira do círculo K = (x, y) in R^2 ,|, x^2 + y^2 <= 1, orientado no sentido anti-horário. Vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais duplas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que para uma curva fechada gamma que é a fronteira de uma região K no plano, a integral de linha ointgamma P dx + Q dy é igual à integral dupla sobre K de ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA. Ou seja:
ointgamma P dx + Q dy = integral duplaK ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA

Passo 3

Vamos identificar P e Q na nossa integral:
P(x, y) = ln(x) - 2y Q(x, y) = 2x + e^y
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais partial Qpartial x e partial Ppartial y.

Passo 4

Calculando partial Qpartial x:
partial Qpartial x = partialpartial x (2x + e^y) = 2
E calculando partial Ppartial y:
partial Ppartial y = partialpartial y (ln(x) - 2y) = -2

Passo 5

Agora, aplicando o Teorema de Green:
ointgamma P dx + Q dy = integral duplaK ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA = integral duplaK (2 - (-2)) dA = integral duplaK 4 , dA
Ou seja, a integral de linha é igual a 4 vezes a área da região K.

Passo 6

A região K é o círculo de raio 1, então a área é:
Área = pi r^2 = pi (1)^2 = pi Á

Passo 7

Portanto, a integral de linha é:
integral duplaK 4 , dA = 4 times pi = 4pi

Resposta

A integral de linha vale 4pi.

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