Calcule as integrais de linhas:
e são as fronteiras dos e orientados no sentido horário e anti-horário, respectivamente.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício pede! Temos que calcular duas integrais de linha, uma sobre a fronteira do conjunto que é um retângulo com e , orientada no sentido horário. A outra integral é sobre a fronteira do conjunto , que também é um retângulo com e , mas orientada no sentido anti-horário. Vamos precisar usar o Teorema de Green para resolver essas integrais de linha envolvendo funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o Teorema de Green. Ele conecta a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que essa curva envolve. Basicamente, em vez de calcular a integral de linha diretamente, a gente transforma isso em uma integral sobre a área, o que muitas vezes é mais fácil de resolver.

Passo 3

Vamos identificar as componentes do nosso campo vetorial. A expressão dada é:
Aqui, podemos pensar em e . O próximo passo é calcular o rotacional desse campo, que no plano 2D é dado por:
Vamos calcular cada derivada:
  1. : Como só depende de , essa derivada é 0.
Então, o rotacional é:

Passo 4

Agora, aplicando o Teorema de Green, a integral de linha ao redor de uma curva fechada é igual à integral dupla do rotacional sobre a região que delimita:
Vamos calcular isso para cada conjunto e .

Passo 5

Para e :
A integral dupla fica:
Integrando em :
Mas atenção na orientação! está orientada no sentido horário, o que inverte o sinal da integral segundo o Teorema de Green. Então:
Para e :
A integral dupla fica:
Integrando em :
A orientação de é anti-horária, então o sinal permanece:

Resposta

A soma das integrais de linha é:
Portanto, o valor final é:

Exercícios relacionados

Calcule as integrais de linhas:
, onde é a fronteira do triângulo com vértices e orientado no sentido horário.
Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green:
, onde é a fronteira do círculo orientado no sentido anti-horário.
Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green para retângulo:
, onde é a fronteira do retângulo orientado no sentido anti-horário.
Seja e . Calcular, se existir, cada um dos seguintes limites:
.