Calcule as integrais de linhas:
ointgamma1-2 x^2 y d x+raiz8-ln (y+2) d y+ointgamma2-2 x^2 y d x+raiz8-ln (y+2) d y, gamma1 e gamma2 são as fronteiras dos K1=(x, y) in R^2, 0 <= x <= 3,0 <= y <= 5 e K2=(x, y) in R^2, 1 <= x <= 2,2 <= y <= 4 orientados no sentido horário e anti-horário, respectivamente.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício pede! Temos que calcular duas integrais de linha, uma sobre a fronteira do conjunto que é um retângulo com e , orientada no sentido horário. A outra integral é sobre a fronteira do conjunto , que também é um retângulo com e , mas orientada no sentido anti-horário. Vamos precisar usar o Teorema de Green para resolver essas integrais de linha envolvendo funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o Teorema de Green. Ele conecta a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que essa curva envolve. Basicamente, em vez de calcular a integral de linha diretamente, a gente transforma isso em uma integral sobre a área, o que muitas vezes é mais fácil de resolver.

Passo 3

Vamos identificar as componentes do nosso campo vetorial. A expressão dada é:
-2x^2 y , dx + raiz8 - ln(y + 2) , dy
Aqui, podemos pensar em partial Qpartial x - partial Ppartial y e 0 - (-2x^2) = 2x^2 . O próximo passo é calcular o rotacional desse campo, que no plano 2D é dado por:
Vamos calcular cada derivada:
  1. : Como só depende de , essa derivada é 0.
Então, o rotacional é:

Passo 4

Agora, aplicando o Teorema de Green, a integral de linha ao redor de uma curva fechada ointgamma P , dx + Q , dy = integral duplaK ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dA = integral duplaK 2x^2 , dA é igual à integral dupla do rotacional sobre a região que delimita:
Vamos calcular isso para cada conjunto e .

Passo 5

Para integral duplaK1 2x^2 , dA = 2 integral0^3 integral0^5 x^2 , dy , dx e 2 integral0^3 x^2 cdot 5 , dx = 10 integral0^3 x^2 , dx = 10 [ x^33 ]0^3 = 10 ( 273 - 0 ) = 10 cdot 9 = 90 :
A integral dupla fica:
ointgamma1 P , dx + Q , dy = -90
Integrando em integral duplaK2 2x^2 , dA = 2 integral1^2 integral2^4 x^2 , dy , dx :
2 integral1^2 x^2 cdot 2 , dx = 4 integral1^2 x^2 , dx = 4 [ x^33 ]1^2 = 4 ( 83 - 13 ) = 4 cdot 73 = 283
Mas atenção na orientação! ointgamma2 P , dx + Q , dy = 283 está orientada no sentido horário, o que inverte o sinal da integral segundo o Teorema de Green. Então:
Para e :
A integral dupla fica:
Integrando em :
A orientação de é anti-horária, então o sinal permanece:

Resposta

A soma das integrais de linha é:
-90 + 283 = -2703 + 283 = -2423
Portanto, o valor final é:
-2423

Exercícios relacionados