Calcule as integrais de linhas:
e
são as fronteiras dos
e
orientados no sentido horário e anti-horário, respectivamente.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o exercício pede! Temos que calcular duas integrais de linha, uma sobre a fronteira
do conjunto
que é um retângulo com
e
, orientada no sentido horário. A outra integral é sobre a fronteira
do conjunto
, que também é um retângulo com
e
, mas orientada no sentido anti-horário. Vamos precisar usar o Teorema de Green para resolver essas integrais de linha envolvendo funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o Teorema de Green. Ele conecta a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que essa curva envolve. Basicamente, em vez de calcular a integral de linha diretamente, a gente transforma isso em uma integral sobre a área, o que muitas vezes é mais fácil de resolver.
Passo 3
Vamos identificar as componentes do nosso campo vetorial. A expressão dada é:
Aqui, podemos pensar em
e
. O próximo passo é calcular o rotacional desse campo, que no plano 2D é dado por:
Vamos calcular cada derivada:
-
: Como só depende de , essa derivada é 0. -
Então, o rotacional é:
Passo 4
Agora, aplicando o Teorema de Green, a integral de linha ao redor de uma curva fechada
é igual à integral dupla do rotacional sobre a região
que
delimita:
Vamos calcular isso para cada conjunto
e
.
Passo 5
Para
e
:
A integral dupla fica:
Integrando em
:
Mas atenção na orientação!
está orientada no sentido horário, o que inverte o sinal da integral segundo o Teorema de Green. Então:
Para
e
:
A integral dupla fica:
Integrando em
:
A orientação de
é anti-horária, então o sinal permanece:
Resposta
A soma das integrais de linha é:
Portanto, o valor final é:
Exercícios relacionados
Calcule as integrais de linhas:
, onde
é a fronteira do triângulo
com vértices
e
orientado no sentido horário.
Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green:
, onde
é a fronteira do círculo
orientado no sentido anti-horário.
Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green para retângulo:
, onde
é a fronteira do retângulo
orientado no sentido anti-horário.
Seja
e
. Calcular, se existir, cada um dos seguintes limites:
.