Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green:
, onde é a fronteira do círculo orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Então, vamos analisar o que a questão está nos pedindo. Temos que calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral fornecida é:
Aqui, é a fronteira de um círculo definido por , ou seja, um círculo de raio 2 centrado na origem, orientado no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região limitada pela curva.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele nos diz que, para uma curva fechada que delimita uma região , podemos transformar a integral de linha em uma integral dupla. A fórmula geral do Teorema de Green é:
Onde e são funções de e .

Passo 3

Vamos identificar as funções e na nossa integral:
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais e .

Passo 4

Vamos calcular :
Agora, :

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula do Teorema de Green, temos:
Agora, precisamos configurar essa integral dupla sobre a região , que é um círculo de raio 2.

Passo 6

Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares. Em coordenadas polares, temos:
Os limites de integração serão de 0 a 2 e de 0 a .
Vamos reescrever a integral:
Simplificando:

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em relação a primeiro:
Agora, a integral externa:

Resposta

A integral de linha é igual a .

Exercícios relacionados

Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green:
, onde é a fronteira do triângulo com vértices e orientado no sentido anti-horário.
Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green para retângulo:
, onde é a fronteira do retângulo orientado no sentido anti-horário.
Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green:
, onde é a fronteira de orientado no sentido anti-horário.
Calcule as integrais de linhas:
, onde e são as fronteiras dos círculos e orientados no sentido horário e anti-horário, respectivamente.