Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green:
, onde
é a fronteira do círculo
orientado no sentido anti-horário.
Passo 1
Então, vamos analisar o que a questão está nos pedindo. Temos que calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral fornecida é:
Aqui,
é a fronteira de um círculo
definido por
, ou seja, um círculo de raio 2 centrado na origem, orientado no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região limitada pela curva.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele nos diz que, para uma curva fechada
que delimita uma região
, podemos transformar a integral de linha em uma integral dupla. A fórmula geral do Teorema de Green é:
Onde
e
são funções de
e
.
Passo 3
Vamos identificar as funções
e
na nossa integral:
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais
e
.
Passo 4
Vamos calcular
:
Agora,
:
Passo 5
Substituindo esses valores na fórmula do Teorema de Green, temos:
Agora, precisamos configurar essa integral dupla sobre a região
, que é um círculo de raio 2.
Passo 6
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares. Em coordenadas polares, temos:
Os limites de integração serão
de 0 a 2 e
de 0 a
.
Vamos reescrever a integral:
Simplificando:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna em relação a
primeiro:
Agora, a integral externa:
Resposta
A integral de linha é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green:
, onde
é a fronteira do triângulo
com vértices
e
orientado no sentido anti-horário.
Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green para retângulo:
, onde
é a fronteira do retângulo
orientado no sentido anti-horário.
Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green:
, onde
é a fronteira de
orientado no sentido anti-horário.
Calcule as integrais de linhas:
, onde
e
são as fronteiras dos círculos
e
orientados no sentido horário e anti-horário, respectivamente.