Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green:
ointgamma(y^2+raiz4-x^2) d x+(ln (y)-2 x) d y, onde gamma é a fronteira do círculo K=(x, y) in R^2, x^2+y^2 <= 4 orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Então, vamos analisar o que a questão está nos pedindo. Temos que calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral fornecida é:
ointgamma(y^2+raiz4-x^2) dx + (ln(y) - 2x) dy
Aqui, gamma é a fronteira de um círculo K definido por x^2 + y^2 <= 4, ou seja, um círculo de raio 2 centrado na origem, orientado no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região limitada pela curva.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele nos diz que, para uma curva fechada gamma que delimita uma região K, podemos transformar a integral de linha em uma integral dupla. A fórmula geral do Teorema de Green é:
ointgamma P dx + Q dy = integral duplaK ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Onde P e Q são funções de x e y.

Passo 3

Vamos identificar as funções P e Q na nossa integral:
P = y^2 + raiz4 - x^2
Q = ln(y) - 2x
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais partial Qpartial x e partial Ppartial y.

Passo 4

Vamos calcular partial Qpartial x:
partial Qpartial x = partialpartial x (ln(y) - 2x) = -2
Agora, partial Ppartial y:
partial Ppartial y = partialpartial y ( y^2 + raiz4 - x^2 ) = 2y + 0 = 2y

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula do Teorema de Green, temos:
integral duplaK ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA = integral duplaK (-2 - 2y) dA = integral duplaK (-2 - 2y) dA
Agora, precisamos configurar essa integral dupla sobre a região K, que é um círculo de raio 2.

Passo 6

Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares. Em coordenadas polares, temos:
x = r cos(theta)
y = r sin(theta)
dA = r dr dtheta
Os limites de integração serão r de 0 a 2 e theta de 0 a 2pi.
Vamos reescrever a integral:
integral duplaK (-2 - 2y) dA = integral0^2pi integral0^2 ( -2 - 2(r sin(theta)) ) r dr dtheta
Simplificando:
= integral0^2pi integral0^2 ( -2r - 2r^2 sin(theta) ) dr dtheta

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em relação a r primeiro:
integral0^2 ( -2r - 2r^2 sin(theta) ) dr = [ -r^2 - 23 r^3 sin(theta) ]0^2 = -4 - 163 sin(theta)
Agora, a integral externa:
integral0^2pi ( -4 - 163 sin(theta) ) dtheta = [ -4theta + 163 cos(theta) ]0^2pi = -8pi + 163 (cos(2pi) - cos(0)) = -8pi + 163 (1 - 1) = -8pi

Resposta

A integral de linha é igual a -8pi.

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