Seja e . Calcular, se existir, cada um dos seguintes limites:
.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções:
A questão quer que a gente calcule o limite quando se aproxima de 0 do produto dessas funções, ou seja, . Aqui, entendemos que representa o produto de por cada componente de .
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre limites e como multiplicar funções escalares por vetores. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa multiplicar por . Isso significa que cada componente de vai ser multiplicada por :
Então, nosso objetivo é calcular o limite de cada uma dessas componentes quando .

Passo 3

Vamos calcular o limite de cada componente separadamente.
  1. Componente :
Sabemos que . Então,
Portanto, a componente tende a 1.
  1. Componente :
Sabemos que , então:
Portanto, a componente tende ao infinito.
  1. Componente :
Portanto, a componente também tende ao infinito.

Resposta

O limite não existe, pois as componentes e tendem ao infinito enquanto a componente tende a 1.

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Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green para retângulo:
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Calcule as integrais de linhas:
e são as fronteiras dos e orientados no sentido horário e anti-horário, respectivamente.
a) ( 1,0 ponto) Represente no espaço tridimensional de forma clara as coordenadas esféricas de um ponto . Descreva a relação das coordenadas esféricas do ponto com suas coordenadas cartesianas a partir das relaçōes trigonométricas em um triângulo retângulo, deixando clara a variação de cada ângulo descrito.
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, onde é a fronteira do retângulo , orientado no sentido anti-horário.