Seja f(t)=sen t i+cos t j+2 k e h(t)=1 / t. Calcular, se existir, cada um dos seguintes limites:
lim t 0[h(t), f(t)].

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções:
A questão quer que a gente calcule o limite quando se aproxima de 0 do produto dessas funções, ou seja, . Aqui, entendemos que representa o produto de por cada componente de .
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre limites e como multiplicar funções escalares por vetores. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa multiplicar h(t) cdot f(t) = [ h(t) cdot sen t ] i + [ h(t) cdot cos t ] j + [ h(t) cdot 2 ] k por . Isso significa que cada componente de vai ser multiplicada por :
Então, nosso objetivo é calcular o limite de cada uma dessas componentes quando .

Passo 3

Vamos calcular o limite de cada componente separadamente.
  1. Componente limt to 0 ( 1t cdot sen t ) :
Sabemos que . Então,
Portanto, a componente limt to 0 ( sen tt ) = 1 tende a 1.
  1. Componente limt to 0 ( 1t cdot cos t ) :
limt to 0 ( cos tt ) = limt to 0 1t = +infty
Sabemos que limt to 0 ( 1t cdot 2 ) = limt to 0 2t = +infty , então:
Portanto, a componente tende ao infinito.
  1. Componente :
Portanto, a componente também tende ao infinito.

Resposta

O limite não existe, pois as componentes e tendem ao infinito enquanto a componente tende a 1.

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