Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green para retângulo:
, onde
é a fronteira do retângulo
orientado no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha usando o Teorema de Green! O exercício nos pede para calcular a integral de linha da função
ao longo da fronteira de um retângulo
definido pelas coordenadas
e
. Para isso, vamos precisar entender o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais de área sobre regiões fechadas no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele nos diz que, para um campo vetorial
, a integral de linha ao longo de uma curva fechada
pode ser convertida em uma integral dupla sobre a região
limitada por
:
No nosso caso, temos
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na expressão do Teorema de Green:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a área do retângulo
. As extremidades de
vão de 1 a 4, e as de
vão de -2 a 3. A largura do retângulo é
e a altura é
. Portanto, a área
é:
Passo 5
Multiplicando a área pelo coeficiente que obtivemos:
Resposta
A integral de linha é igual a 60.
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, onde
é a fronteira do triângulo
com vértices
e
orientado no sentido anti-horário.
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, onde
é a fronteira do retangulo
,
orientado no sentido anti-horário.
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, onde
é a fronteira do triângulo
com vértices
e
orientado no sentido anti-horário.
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, onde
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orientado no sentido anti-horário.