Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green para retângulo:
ointgamma x^2 d x+(4 x+y) d y, onde gamma é a fronteira do retângulo K=(x, y) in R^2, 1 <= x <= 4,-2 <= y <= 3 orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha usando o Teorema de Green! O exercício nos pede para calcular a integral de linha da função ao longo da fronteira de um retângulo definido pelas coordenadas e . Para isso, vamos precisar entender o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais de área sobre regiões fechadas no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele nos diz que, para um campo vetorial ointgamma P , dx + Q , dy = integral duplaK ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy , a integral de linha ao longo de uma curva fechada pode ser convertida em uma integral dupla sobre a região limitada por :
No nosso caso, temos e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x(4x + y) = 4
partial Ppartial y = partialpartial y(x^2) = 0
Substituindo na expressão do Teorema de Green:
ointgamma x^2 , dx + (4x + y) , dy = integral duplaK (4 - 0) , dx , dy = 4 integral duplaK , dx , dy

Passo 4

Agora, precisamos calcular a área do retângulo A = 3 times 5 = 15 . As extremidades de vão de 1 a 4, e as de vão de -2 a 3. A largura do retângulo é e a altura é . Portanto, a área é:

Passo 5

Multiplicando a área pelo coeficiente que obtivemos:
4 times 15 = 60

Resposta

A integral de linha é igual a 60.

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