Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green para retângulo:
, onde é a fronteira do retângulo orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha usando o Teorema de Green! O exercício nos pede para calcular a integral de linha da função ao longo da fronteira de um retângulo definido pelas coordenadas e . Para isso, vamos precisar entender o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais de área sobre regiões fechadas no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele nos diz que, para um campo vetorial , a integral de linha ao longo de uma curva fechada pode ser convertida em uma integral dupla sobre a região limitada por :
No nosso caso, temos e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na expressão do Teorema de Green:

Passo 4

Agora, precisamos calcular a área do retângulo . As extremidades de vão de 1 a 4, e as de vão de -2 a 3. A largura do retângulo é e a altura é . Portanto, a área é:

Passo 5

Multiplicando a área pelo coeficiente que obtivemos:

Resposta

A integral de linha é igual a 60.

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