Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green:
ointgamma y^2 d x+2 x^2 d y, onde gamma é a fronteira do triângulo K com vértices (0,0),(1,2) e (1,0) orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. O problema nos dá uma integral sobre a fronteira de um triângulo com vértices em (0,0), (1,2) e (1,0), e pede pra gente avaliar:
ointgamma y^2 , dx + 2x^2 , dy
Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha a integrais duplas, facilitando nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Green. Ele nos diz que, para uma curva fechada gamma que delimita uma região K, temos:
ointgamma P , dx + Q , dy = integral duplaK ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dA
Aqui, P e Q são funções contínuas com derivadas parciais contínuas na região K.

Passo 3

No nosso caso, identificamos:
P = y^2 e Q = 2x^2
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais partial Qpartial x e partial Ppartial y.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partialpartial x (2x^2) = 4x
partial Ppartial y = partialpartial y (y^2) = 2y
Agora, a expressão dentro da integral dupla fica:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 4x - 2y

Passo 5

Vamos configurar a integral dupla sobre a região K, que é o triângulo com vértices em (0,0), (1,2) e (1,0). Para isso, vamos descrever os limites de integração.
Observando o triângulo, fixando x entre 0 e 1, para cada x, y varia de 0 até a reta que liga (0,0) a (1,2). A equação dessa reta é y = 2x.
Então, os limites são:
0 <= x <= 1
0 <= y <= 2x

Passo 6

Agora, montamos a integral dupla:
integral duplaK (4x - 2y) , dA = integralx=0^1 integraly=0^2x (4x - 2y) , dy , dx
Vamos calcular essa integral passo a passo.

Passo 7

Primeiro, integramos em relação a y:
integral0^2x (4x - 2y) , dy = [4x y - y^2 ]0^2x = 4x(2x) - (2x)^2 - (0 - 0) = 8x^2 - 4x^2 = 4x^2
Agora, integramos o resultado em relação a x:
integral0^1 4x^2 , dx = 4 cdot [ x^33 ]0^1 = 4 ( 13 - 0 ) = 43

Resposta

A integral de linha vale dfrac43.

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