Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green:
, onde
é a fronteira do triângulo
com vértices
e
orientado no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. O problema nos dá uma integral sobre a fronteira de um triângulo com vértices em
,
e
, e pede pra gente avaliar:
Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha a integrais duplas, facilitando nossos cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Green. Ele nos diz que, para uma curva fechada
que delimita uma região
, temos:
Aqui,
e
são funções contínuas com derivadas parciais contínuas na região
.
Passo 3
No nosso caso, identificamos:
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais
e
.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
Agora, a expressão dentro da integral dupla fica:
Passo 5
Vamos configurar a integral dupla sobre a região
, que é o triângulo com vértices em
,
e
. Para isso, vamos descrever os limites de integração.
Observando o triângulo, fixando
entre 0 e 1, para cada
,
varia de 0 até a reta que liga
a
. A equação dessa reta é
.
Então, os limites são:
Passo 6
Agora, montamos a integral dupla:
Vamos calcular essa integral passo a passo.
Passo 7
Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, integramos o resultado em relação a
:
Resposta
A integral de linha vale
.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green para retângulo:
, onde
é a fronteira do retângulo
orientado no sentido anti-horário.
Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green:
, onde
é a fronteira do triângulo
com vértices
e
orientado no sentido anti-horário.
Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green:
, onde
é a fronteira do círculo
orientado no sentido anti-horário.
Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green:
, onde
é a fronteira de
orientado no sentido anti-horário.