Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green:
, onde é a fronteira do triângulo com vértices e orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. O problema nos dá uma integral sobre a fronteira de um triângulo com vértices em , e , e pede pra gente avaliar:
Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha a integrais duplas, facilitando nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Green. Ele nos diz que, para uma curva fechada que delimita uma região , temos:
Aqui, e são funções contínuas com derivadas parciais contínuas na região .

Passo 3

No nosso caso, identificamos:
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais e .

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
Agora, a expressão dentro da integral dupla fica:

Passo 5

Vamos configurar a integral dupla sobre a região , que é o triângulo com vértices em , e . Para isso, vamos descrever os limites de integração.
Observando o triângulo, fixando entre 0 e 1, para cada , varia de 0 até a reta que liga a . A equação dessa reta é .
Então, os limites são:

Passo 6

Agora, montamos a integral dupla:
Vamos calcular essa integral passo a passo.

Passo 7

Primeiro, integramos em relação a :
Agora, integramos o resultado em relação a :

Resposta

A integral de linha vale .

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, onde é a fronteira do retângulo orientado no sentido anti-horário.
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, onde é a fronteira do círculo orientado no sentido anti-horário.
Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green:
, onde é a fronteira de orientado no sentido anti-horário.