Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green para retângulo: , onde é a fronteira do retângulo , orientado no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green para o retângulo definido por e , com orientação anti-horária. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais de linha e a aplicação do Teorema de Green, que liga integrais sobre contornos fechados a integrais duplas sobre a região que eles delimitam.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que estão na integral de linha. A integral dada é:
Aqui, podemos dizer que:
Essas são as funções que vamos usar no Teorema de Green.
Passo 3
O Teorema de Green nos diz que para uma curva fechada que delimita uma região , temos:
Basicamente, ele transforma uma integral de linha em uma integral dupla, o que muitas vezes facilita o cálculo.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais que aparecem na fórmula do Teorema de Green.
Primeiro, :
Passo 5
Agora, :
Passo 6
Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
Então, precisamos calcular essa integral dupla sobre a região .
Passo 7
Vamos configurar a integral dupla. A região é um retângulo onde vai de 0 a 2 e vai de -3 a 1. Então, a integral fica:
Passo 8
Primeiro, integramos em relação a :
Passo 9
Agora, integramos em relação a :
Resposta
A integral de linha sobre a fronteira do retângulo é igual a 0.