Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green para retângulo:
, onde é a fronteira do retângulo , orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green para o retângulo definido por e , com orientação anti-horária. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais de linha e a aplicação do Teorema de Green, que liga integrais sobre contornos fechados a integrais duplas sobre a região que eles delimitam.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que estão na integral de linha. A integral dada é:
Aqui, podemos dizer que:
Essas são as funções que vamos usar no Teorema de Green.

Passo 3

O Teorema de Green nos diz que para uma curva fechada que delimita uma região , temos:
Basicamente, ele transforma uma integral de linha em uma integral dupla, o que muitas vezes facilita o cálculo.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais que aparecem na fórmula do Teorema de Green.
Primeiro, :

Passo 5

Agora, :

Passo 6

Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
Então, precisamos calcular essa integral dupla sobre a região .

Passo 7

Vamos configurar a integral dupla. A região é um retângulo onde vai de 0 a 2 e vai de -3 a 1. Então, a integral fica:

Passo 8

Primeiro, integramos em relação a :

Passo 9

Agora, integramos em relação a :

Resposta

A integral de linha sobre a fronteira do retângulo é igual a 0.

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Verifique se as seguintes funções são contínuas em .
Verifique se as seguintes funções são contínuas em .
Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green para retângulo:
, onde é a fronteira do retângulo orientado no sentido anti-horário.
Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green:
, onde é a fronteira do círculo orientado no sentido anti-horário.