Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green para retângulo:
ointgamma(ln (x)-2 y^2) d x+(2 x^2+e^y) d y, onde gamma é a fronteira do retângulo K=(x, y) in R^2, 0 <= x <= 2, -3 <= y <= 1 orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green para o retângulo definido por e , com orientação anti-horária. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais de linha e a aplicação do Teorema de Green, que liga integrais sobre contornos fechados a integrais duplas sobre a região que eles delimitam.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que estão na integral de linha. A integral dada é:
ointgamma(ln (x)-2 y^2) d x+(2 x^2+e^y) d y
Aqui, podemos dizer que:
P(x,y) = ln(x) - 2y^2
Q(x,y) = 2x^2 + e^y
Essas são as funções que vamos usar no Teorema de Green.

Passo 3

O Teorema de Green nos diz que para uma curva fechada ointgamma P , dx + Q , dy = integral duplaK ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx, dy que delimita uma região , temos:
Basicamente, ele transforma uma integral de linha em uma integral dupla, o que muitas vezes facilita o cálculo.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais que aparecem na fórmula do Teorema de Green.
Primeiro, partial Qpartial x = partialpartial x (2x^2 + e^y) = 4x :

Passo 5

Agora, partial Ppartial y = partialpartial y (ln(x) - 2y^2) = -4y :

Passo 6

Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
integral duplaK ( 4x - (-4y) ) dx, dy = integral duplaK (4x + 4y) dx, dy
Então, precisamos calcular essa integral dupla sobre a região .

Passo 7

Vamos configurar a integral dupla. A região integral0^2 integral-3^1 (4x + 4y) , dy, dx é um retângulo onde vai de 0 a 2 e vai de -3 a 1. Então, a integral fica:

Passo 8

Primeiro, integramos em relação a integral-3^1 (4x + 4y) , dy = 4x integral-3^1 dy + 4 integral-3^1 y , dy :
= 4x (1 - (-3)) + 4 ( y^22 g|-3^1 )
= 16x + 4 ( 12 - 92 )
= 16x + 4 ( -4 )
= 16x - 16

Passo 9

Agora, integramos em relação a integral0^2 (16x - 16) , dx = 16 integral0^2 x , dx - 16 integral0^2 dx :
= 16 ( x^22 g|0^2 ) - 16 (2 - 0)
= 16 (2) - 32
= 32 - 32
= 0

Resposta

A integral de linha sobre a fronteira do retângulo é igual a 0.

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