Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green:
, onde é a fronteira do triângulo com vértices e orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha usando o Teorema de Green. O enunciado pede para calcular a integral de linha , onde é a fronteira do triângulo com vértices em , e , orientado no sentido anti-horário. Vamos precisar entender o Teorema de Green e como aplicá-lo para transformar essa integral de linha em uma integral dupla mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. Matematicamente, ele é expresso por:
Aqui, e . Precisamos calcular as derivadas parciais e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:

Passo 4

Agora, precisamos definir os limites de integração para a região , que é o triângulo com vértices em , e . Vamos dividir o triângulo em duas partes para facilitar a integração:
  1. De a , com variando de a .
  2. De a , com variando de a .

Passo 5

Vamos montar a integral dupla usando os limites definidos:
Vamos resolver cada parte separadamente.
Primeira Integral:
Integramos em relação a :
Somando:
Agora, integramos em relação a :
Segunda Integral:
Integramos em relação a :
Somando:
Expandindo :
Somando com os demais termos:
Agora, integramos em relação a :
Calculando em :
Calculando em :
A diferença entre os limites:

Resposta

Somando as duas partes da integral dupla, temos:
Portanto, o valor da integral de linha é .

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