Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green: , onde é a fronteira do triângulo com vértices e orientado no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha usando o Teorema de Green. O enunciado pede para calcular a integral de linha , onde é a fronteira do triângulo com vértices em , e , orientado no sentido anti-horário. Vamos precisar entender o Teorema de Green e como aplicá-lo para transformar essa integral de linha em uma integral dupla mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. Matematicamente, ele é expresso por:
Aqui, e . Precisamos calcular as derivadas parciais e .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:
Passo 4
Agora, precisamos definir os limites de integração para a região , que é o triângulo com vértices em , e . Vamos dividir o triângulo em duas partes para facilitar a integração:
De a , com variando de a .
De a , com variando de a .
Passo 5
Vamos montar a integral dupla usando os limites definidos: