Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green:
ointgamma(y^3+5 x y) d x+y^5 d y, onde gamma é a fronteira do triângulo K com vértices (0,0),(1,2) e (2,0) orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha usando o Teorema de Green. O enunciado pede para calcular a integral de linha , onde é a fronteira do triângulo com vértices em , e , orientado no sentido anti-horário. Vamos precisar entender o Teorema de Green e como aplicá-lo para transformar essa integral de linha em uma integral dupla mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. Matematicamente, ele é expresso por:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy
Aqui, e . Precisamos calcular as derivadas parciais e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partialpartial x (y^5) = 0
partial Ppartial y = partialpartial y (y^3 + 5xy) = 3y^2 + 5x
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 0 - (3y^2 + 5x) = -(3y^2 + 5x)

Passo 4

Agora, precisamos definir os limites de integração para a região , que é o triângulo com vértices em , e . Vamos dividir o triângulo em duas partes para facilitar a integração:
  1. De a , com variando de a .
  2. De a , com variando de a .

Passo 5

Vamos montar a integral dupla usando os limites definidos:
integral duplaD -(3y^2 + 5x) , dx , dy = integral0^1 integral0^2x -(3y^2 + 5x) , dy , dx + integral1^2 integral0^-2x+4 -(3y^2 + 5x) , dy , dx
Vamos resolver cada parte separadamente.
Primeira Integral:
integral0^1 [ integral0^2x -(3y^2 + 5x) , dy ] dx
Integramos em relação a integral0^2x -3y^2 , dy = -y^3 |0^2x = -(8x^3) :
integral0^2x -5x , dy = -5x cdot y |0^2x = -10x^2
-8x^3 - 10x^2
Somando:
integral0^1 (-8x^3 - 10x^2) , dx = -2x^4 - 103x^3 |0^1 = -2 - 103 = -163
Agora, integramos em relação a integral1^2 [ integral0^-2x+4 -(3y^2 + 5x) , dy ] dx :
integral0^-2x+4 -3y^2 , dy = -y^3 |0^-2x+4 = -(-2x+4)^3
Segunda Integral:
integral0^-2x+4 -5x , dy = -5x cdot y |0^-2x+4 = -5x(-2x+4) = 10x^2 - 20x
Integramos em relação a -(-2x+4)^3 + 10x^2 - 20x = (2x - 4)^3 + 10x^2 - 20x :
8x^3 - 48x^2 + 96x - 64
8x^3 - 48x^2 + 96x - 64 + 10x^2 - 20x = 8x^3 - 38x^2 + 76x - 64
Somando:
integral1^2 (8x^3 - 38x^2 + 76x - 64) , dx = 2x^4 - 383x^3 + 38x^2 - 64x |1^2
Expandindo 2(16) - 383(8) + 38(4) - 64(2) = 32 - 3043 + 152 - 128 = 963 - 3043 + 4563 - 3843 = -1363 :
2(1) - 383(1) + 38(1) - 64(1) = 2 - 383 + 38 - 64 = -1103
Somando com os demais termos:
-1363 - (-1103) = -263
Agora, integramos em relação a :
Calculando em :
Calculando em :
A diferença entre os limites:

Resposta

Somando as duas partes da integral dupla, temos:
-163 + (-263) = -423 = -14
Portanto, o valor da integral de linha é .

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