Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green para retângulo:
, onde é a fronteira do retângulo , orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral é sobre o contorno de um retângulo definido por e . A fórmula que vamos usar envolve converter a integral de linha em uma integral dupla sobre a região interna do retângulo.

Passo 2

Primeiro, identificamos as funções e na integral de linha dada:

Passo 3

O Teorema de Green nos diz que:
Então, nosso próximo passo é calcular as derivadas parciais e .

Passo 4

Calculando :
Como não depende de , a derivada parcial em relação a é zero:

Passo 5

Agora, calculando :

Passo 6

Substituindo as derivadas na fórmula do Teorema de Green:

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral dupla:
Primeiro, integramos em relação a :

Passo 8

Agora, integramos o resultado em relação a :

Resposta

A integral de linha calculada usando o Teorema de Green é .

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a) ( 1,0 ponto) Represente no espaço tridimensional de forma clara as coordenadas esféricas de um ponto . Descreva a relação das coordenadas esféricas do ponto com suas coordenadas cartesianas a partir das relaçōes trigonométricas em um triângulo retângulo, deixando clara a variação de cada ângulo descrito.
Seja e . Calcular, se existir, cada um dos seguintes limites:
.
Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green:
, onde é a fronteira do triângulo com vértices e orientado no sentido anti-horário.