Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green para retângulo:
ointgamma-2 x^2 y d x+raiz8-ln (y+2) d y, onde gamma é a fronteira do retângulo K=(x, y) in R^2, 0 <= x <= 2, 0 <= y <= 1 orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral é sobre o contorno de um retângulo definido por 0 <= x <= 2 e 0 <= y <= 1. A fórmula que vamos usar envolve converter a integral de linha em uma integral dupla sobre a região interna do retângulo.

Passo 2

Primeiro, identificamos as funções P e Q na integral de linha dada:
P(x, y) = -2x^2 y Q(x, y) = raiz8 - ln(y + 2)

Passo 3

O Teorema de Green nos diz que:
ointgamma P , dx + Q , dy = integral duplaK ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy
Então, nosso próximo passo é calcular as derivadas parciais partial Qpartial x e partial Ppartial y.

Passo 4

Calculando partial Qpartial x:
Q = raiz8 - ln(y + 2)
Como Q não depende de x, a derivada parcial em relação a x é zero:
partial Qpartial x = 0

Passo 5

Agora, calculando partial Ppartial y:
P = -2x^2 y partial Ppartial y = -2x^2

Passo 6

Substituindo as derivadas na fórmula do Teorema de Green:
integral duplaK ( 0 - (-2x^2) ) dx , dy = integral duplaK 2x^2 , dx , dy

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral dupla:
integral duplaK 2x^2 , dx , dy = integraly=0^1 integralx=0^2 2x^2 , dx , dy
Primeiro, integramos em relação a x:
integral0^2 2x^2 , dx = 2 [ x^33 ]0^2 = 2 ( 83 - 0 ) = 163

Passo 8

Agora, integramos o resultado em relação a y:
integral0^1 163 , dy = 163 [ y ]0^1 = 163 (1 - 0) = 163

Resposta

A integral de linha calculada usando o Teorema de Green é 163.

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