Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green para retângulo:
, onde
é a fronteira do retângulo
,
orientado no sentido anti-horário.
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral é sobre o contorno de um retângulo definido por
e
. A fórmula que vamos usar envolve converter a integral de linha em uma integral dupla sobre a região interna do retângulo.
Passo 2
Primeiro, identificamos as funções
e
na integral de linha dada:
Passo 3
O Teorema de Green nos diz que:
Então, nosso próximo passo é calcular as derivadas parciais
e
.
Passo 4
Calculando
:
Como
não depende de
, a derivada parcial em relação a
é zero:
Passo 5
Agora, calculando
:
Passo 6
Substituindo as derivadas na fórmula do Teorema de Green:
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral dupla:
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 8
Agora, integramos o resultado em relação a
:
Resposta
A integral de linha calculada usando o Teorema de Green é
.