a) ( 1,0 ponto) Represente no espaço tridimensional de forma clara as coordenadas esféricas de um ponto . Descreva a relação das coordenadas esféricas do ponto com suas coordenadas cartesianas a partir das relaçōes trigonométricas em um triângulo retângulo, deixando clara a variação de cada ângulo descrito.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos representar coordenadas esféricas de um ponto no espaço tridimensional. Para isso, vamos relacionar essas coordenadas esféricas com as coordenadas cartesianas () usando relações trigonométricas em um triângulo retângulo. Vamos precisar conhecer os conceitos básicos de coordenadas esféricas e cartesianas, além de entender como os ângulos variam nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são as coordenadas cartesianas e as coordenadas esféricas:
Coordenadas Cartesianas: Representam um ponto no espaço usando três valores , que são as distâncias do ponto aos planos , e , respectivamente.
Coordenadas Esféricas: Representam um ponto no espaço usando três valores , onde:
é a distância do ponto à origem.
é o ângulo entre o eixo positivo e o segmento que liga a origem a .
é o ângulo no plano entre o eixo positivo e a projeção de nesse plano.
Passo 3
Vamos agora relacionar as coordenadas esféricas com as cartesianas usando trigonometria em um triângulo retângulo. Imagine que está num espaço tridimensional:
Distância : É a hipotenusa do triângulo, ou seja, .
Ângulo : É o ângulo entre o eixo e a linha que vai da origem até . Usamos a função cosseno para relacionar com :
Ângulo : É o ângulo no plano entre o eixo e a projeção de nesse plano. Usamos funções seno e cosseno para relacionar e com e :
Passo 4
Vamos detalhar cada relação:
Para :
A projeção de no plano forma um triângulo retângulo com lados e , e hipotenusa .
Usando a definição de cosseno: .
Portanto: .
Para :
Usando a definição de seno: .
Portanto: .
Para :
Já vimos que .
Passo 5
Reunindo todas as relações, temos as fórmulas de transformação entre coordenadas esféricas e coordenadas cartesianas :
Essas equações nos permitem converter facilmente entre os dois sistemas de coordenadas, utilizando as relações trigonométricas derivadas dos triângulos retângulos formados no espaço tridimensional.
Resposta
As coordenadas esféricas do ponto são dadas por , onde: