Verifique se as seguintes funções são contínuas em
.
Passo 1
Ok, vamos lá! A questão pede para verificar se a função
é contínua no ponto
. Estamos lidando com o conceito de continuidade de funções de duas variáveis, e para isso, vamos precisar analisar o limite da função quando
se aproxima de
e ver se esse limite é igual ao valor da função no ponto, que é 0.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função
é contínua em
se o limite de
quando
se aproxima de
for igual a
. Aqui, precisamos calcular:
Passo 3
Para calcular esse limite, podemos tentar abordagens diferentes. Uma forma comum é verificar o limite ao longo de diferentes caminhos que chegam a
. Se obtermos resultados diferentes, isso significa que o limite não existe, e portanto, a função não é contínua no ponto.
Passo 4
Vamos primeiro considerar o caminho onde
. Substituindo:
Esse limite tende ao infinito quando
, o que já indica um problema, pois esperamos um valor finito.
Passo 5
Para ter certeza, vamos verificar outro caminho, por exemplo
. Substituindo:
Novamente, esse limite tende ao infinito, mas de forma negativa.
Passo 6
Como obtivemos resultados diferentes (infinito positivo e infinito negativo) ao nos aproximarmos de
por diferentes caminhos, concluímos que o limite da função
quando
não existe.
Resposta
A função
não é contínua em
porque o limite não existe nesse ponto.
Exercícios relacionados
Determine os seguintes limites.
Sejam
funções. Mostre que para
vale
Verifique se as seguintes funções são contínuas em
.
Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green para retângulo:
, onde
é a fronteira do retângulo
,
orientado no sentido anti-horário.