Verifique se as seguintes funções são contínuas em .

Passo 1

Ok, vamos lá! A questão pede para verificar se a função é contínua no ponto . Estamos lidando com o conceito de continuidade de funções de duas variáveis, e para isso, vamos precisar analisar o limite da função quando se aproxima de e ver se esse limite é igual ao valor da função no ponto, que é 0.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em se o limite de quando se aproxima de for igual a . Aqui, precisamos calcular:

Passo 3

Para calcular esse limite, podemos tentar abordagens diferentes. Uma forma comum é verificar o limite ao longo de diferentes caminhos que chegam a . Se obtermos resultados diferentes, isso significa que o limite não existe, e portanto, a função não é contínua no ponto.

Passo 4

Vamos primeiro considerar o caminho onde . Substituindo:
Esse limite tende ao infinito quando , o que já indica um problema, pois esperamos um valor finito.

Passo 5

Para ter certeza, vamos verificar outro caminho, por exemplo . Substituindo:
Novamente, esse limite tende ao infinito, mas de forma negativa.

Passo 6

Como obtivemos resultados diferentes (infinito positivo e infinito negativo) ao nos aproximarmos de por diferentes caminhos, concluímos que o limite da função quando não existe.

Resposta

A função não é contínua em porque o limite não existe nesse ponto.

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