Verifique se as seguintes funções são contínuas em
.
Passo 1
Beleza, vamos analisar se a função
é contínua no ponto
. A matéria que estamos usando aqui é o conceito de continuidade de funções de várias variáveis. Para isso, precisamos verificar se o limite de
quando
se aproxima de
é igual ao valor da função nesse ponto, que é 0.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a função para
:
E para
:
Passo 3
Para verificar a continuidade, precisamos encontrar:
Se esse limite for igual a 0, a função é contínua no ponto
.
Passo 4
Vamos simplificar o numerador usando a expansão da série de Taylor para
:
Portanto:
Passo 5
Substituindo na função:
À medida que
e
se aproximam de 0, o termo
tende ao infinito, a menos que a relação entre
e
seja controlada.
Passo 6
Vamos analisar o limite ao longo de diferentes caminhos. Por exemplo:
-
Caminho 1:Usando a expansão de
: Quando, isso tende ao infinito. -
Caminho 2:Novamente, substituindo:Também tende ao infinito quando
.
Passo 7
Como o limite tende ao infinito em diferentes caminhos, isso indica que o limite geral não existe ou não é igual a 0.
Resposta
A função
não é contínua no ponto
.
Exercícios relacionados
Verifique se as seguintes funções são contínuas em
.
Determine os seguintes limites.
Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green para retângulo:
, onde
é a fronteira do retângulo
,
orientado no sentido anti-horário.
Calcule as integrais de linhas usando o teorema de Green para retângulo:
, onde
é a fronteira do retângulo
orientado no sentido anti-horário.