Verifique se as seguintes funções são contínuas em .

Passo 1

Beleza, vamos analisar se a função é contínua no ponto . A matéria que estamos usando aqui é o conceito de continuidade de funções de várias variáveis. Para isso, precisamos verificar se o limite de quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto, que é 0.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função para :
E para :

Passo 3

Para verificar a continuidade, precisamos encontrar:
Se esse limite for igual a 0, a função é contínua no ponto .

Passo 4

Vamos simplificar o numerador usando a expansão da série de Taylor para :
Portanto:

Passo 5

Substituindo na função:
À medida que e se aproximam de 0, o termo tende ao infinito, a menos que a relação entre e seja controlada.

Passo 6

Vamos analisar o limite ao longo de diferentes caminhos. Por exemplo:
  • Caminho 1:
    Usando a expansão de :
    Quando , isso tende ao infinito.
  • Caminho 2:
    Novamente, substituindo:
    Também tende ao infinito quando .

Passo 7

Como o limite tende ao infinito em diferentes caminhos, isso indica que o limite geral não existe ou não é igual a 0.

Resposta

A função não é contínua no ponto .

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