Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
(08)

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral usando o método da substituição. Esse método é ótimo quando conseguimos simplificar a integral escolhendo uma parte dela para ser substituída por uma nova variável. Aqui, vamos precisar conhecer um pouco sobre funções exponenciais e a função cotangente, além de como realizar substituições em integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que pode ser substituída por uma nova variável. Observe que temos dentro da função cotangente. Vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir na integral. Calculando a derivada:

Passo 4

Substituindo e na integral original:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral mais simples . Sabemos que:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, substituímos de volta pela expressão original :

Resposta

A integral é igual a .

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ache:
(b) a direção e sentido em que se dá a maior taxa de variação de em .
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