Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
(08)
(08)
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral
usando o método da substituição. Esse método é ótimo quando conseguimos simplificar a integral escolhendo uma parte dela para ser substituída por uma nova variável. Aqui, vamos precisar conhecer um pouco sobre funções exponenciais e a função cotangente, além de como realizar substituições em integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que pode ser substituída por uma nova variável. Observe que temos
dentro da função cotangente. Vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
na integral. Calculando a derivada:
Passo 4
Substituindo
e
na integral original:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral mais simples
. Sabemos que:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Por fim, substituímos
de volta pela expressão original
:
Resposta
A integral é igual a
.
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Se
volts for o potencial elétrico num ponto
do espaço tridimensional e
ache:
(b) a direção e sentido em que se dá a maior taxa de variação de em
.
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