Se volts for o potencial elétrico num ponto do espaço tridimensional e
ache:
(b) a direção e sentido em que se dá a maior taxa de variação de em .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre potencial elétrico. A gente tem uma função que descreve o potencial elétrico num ponto no espaço tridimensional. A gente precisa achar a direção e o sentido onde a variação de é máxima no ponto específico . Para isso, vamos usar o conceito de gradiente da função, que nos dá justamente essa direção de maior variação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que o potencial elétrico é dado por:
O gradiente de , denotado por , nos dá o vetor que aponta na direção de maior variação de e com a magnitude dessa variação.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente . Isso significa calcular as derivadas parciais de em relação a , e :
Vamos fazer cada derivada:
Para :
De forma similar, para e :
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto . Primeiro, calculamos :
Então, o denominador fica .
Agora, cada componente do gradiente:
Então, o gradiente no ponto é:
Passo 5
A direção de maior variação é a direção do gradiente. Para encontrar a direção unificada, a gente normaliza esse vetor, ou seja, divide cada componente pela magnitude do gradiente. Primeiro, calculamos a magnitude:
Agora, a direção unitária é:
Resposta
A maior taxa de variação de em ocorre na direção do vetor com sentido nessa direção.