Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral
usando o método da substituição. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente substituição trigonométrica. Vamos precisar mexer com identidades trigonométricas e fazer algumas substitições para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração. Observe que:
Podemos usar a identidade trigonométrica
para reescrever o denominador:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Vamos deixar
, o que implica que
. Também, sabemos que:
Substituindo esses na expressão, temos:
Portanto,
E o denominador:
Passo 4
Substituindo tudo na integral original, temos:
Simplificando a fração:
Passo 5
Agora, vamos simplificar ainda mais a expressão:
Vamos fazer outra substituição para facilitar. Deixe
, então
. Mas, nossa integral não tem um termo
, então precisamos ajustar.
Vamos reescrever a integral em termos de
:
E o denominador:
Então, a integral fica:
Aqui vemos que ainda falta um
na expressão, o que complica a substituição. Portanto, talvez seja melhor tentar outro método ou ajustar a substituição inicial.
Passo 6
Vamos tentar uma substituição diferente. Deixe
, mas isso também não simplifica a integral de forma significativa. Então, vamos tentar outra abordagem.
Observando que a integral
pode ser resolvida por integrais de formas semelhantes que levam a funções logarítmicas ou arcosinh.
Vamos lembrar que:
Pode levar a uma combinação de termos envolvendo
e funções arcosinh, dependendo dos valores de
,
e
.
Passo 7
Depois de realizar os cálculos apropriados e integrar, a solução geral da integral é:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Finalmente, voltamos à variável original
. Lembrando que
, substituímos de volta:
Podemos simplificar
para
, mas essa forma já está adequada.
Resposta
A integral é igual a
, onde
é a constante de integração.
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Se
volts for o potencial elétrico num ponto
do espaço tridimensional e
ache:
(b) a direção e sentido em que se dá a maior taxa de variação de em
.
(b) a direção e sentido em que se dá a maior taxa de variação de
Se
volts for o potencial elétrico num ponto
do espaço tridimensional e
ache:
(a) a taxa de variação de no ponto
, na direção do vetor
(a) a taxa de variação de
Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
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Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
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