Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
(17) integral raiztan x+1cos ^2 x d x

Passo 1

Vamos resolver a integral utilizando o método da substituição. Esse método é muito útil para simplificar integrais complicadas ao substituir partes dela por uma nova variável mais fácil de trabalhar.

Passo 2

Primeiro, fazemos uma substituição para simplificar a expressão dentro da integral. Vamos definir:
u = tan x + 1
Isso significa que a raiz presente na integral fica mais simples:
raiztan x + 1 = raizu

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = sec^2 x em relação a dudx = 1cos^2 x Rightarrow du = 1cos^2 x , dx para substituir na integral. Derivando ambos os lados:
Lembre que , então . Assim:

Passo 4

Agora substituímos integral raiztan x + 1cos^2 x , dx = integral raizu , du e na integral original:
Isso simplifica muito a integral!

Passo 5

Agora, resolvemos a integral mais simples:
integral raizu , du = integral u^1/2 , du = 23 u^3/2 + C
Aqui, é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, voltamos à variável original substituindo 23 (tan x + 1)^3/2 + C :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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