Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
(17)
(17)
Passo 1
Vamos resolver a integral
utilizando o método da substituição. Esse método é muito útil para simplificar integrais complicadas ao substituir partes dela por uma nova variável mais fácil de trabalhar.
Passo 2
Primeiro, fazemos uma substituição para simplificar a expressão dentro da integral. Vamos definir:
Isso significa que a raiz presente na integral fica mais simples:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
na integral. Derivando ambos os lados:
Lembre que
, então
. Assim:
Passo 4
Agora substituímos
e
na integral original:
Isso simplifica muito a integral!
Passo 5
Agora, resolvemos a integral mais simples:
Aqui,
é a constante de integração.
Passo 6
Por fim, voltamos à variável original substituindo
:
Resposta
A integral
é igual a
, onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Exercício 2. A equação
conhecida como a equação de Bernoulli, é linear quando
ou
. Mostre que ela pode ser reduzida a uma equação linear para qualquer outro valor de n por meio da mudança de variável
e aplique este método para resolver as seguintes equações:
(a) ;
(b) ;
© .
(a)
(b)
©
Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
(06)
(06)
Encontre o momento polar de inércia em relação à origem de uma placa fina limitada pela cardióide
se a função densidade da placa for
.