Encontre o momento polar de inércia em relação à origem de uma placa fina limitada pela cardióide se a função densidade da placa for .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para encontrar o momento polar de inércia de uma placa fina delimitada pela cardióide em relação à origem. A densidade da placa é constante, igual a 1. Para isso, vamos usar conceitos de coordenadas polares e integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o momento polar de inércia em coordenadas polares é dado por:
Á
Aqui, (densidade constante), então a expressão simplifica para:
Á

Passo 3

A área está delimitada pela cardióide . Para integrar, precisamos definir os limites de e . O varia de 0 a , e para cada , vai de 0 até .
Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos integrar primeiro em relação a :
Portanto, agora temos:

Passo 5

Para facilitar a integração, vamos expandir usando o binômio:
Assim, a integral fica:

Passo 6

Sabemos que integrais de e de 0 a são zero. Restam então:

Passo 7

Somando os termos:
Então:

Resposta

O momento polar de inércia em relação à origem é .

Exercícios relacionados

Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
(17)
Exercício 2. A equação
conhecida como a equação de Bernoulli, é linear quando ou . Mostre que ela pode ser reduzida a uma equação linear para qualquer outro valor de n por meio da mudança de variável e aplique este método para resolver as seguintes equações:
(a) ;
(b) ;
© .
Exercício 5. (a) Suponha que um dado elemento radioativo se decomponha em um segundo elemento radioativo , e que por sua vez se decomponha em um terceiro elemento . Se a quantidade inicial de presente é , se as quantidades de e presentes em um tempo posterior t são x e , respectivamente, e se e são as constantes de taxa dessas duas reações, encontre y como função do tempo .
(b) Radônio (com uma meia-vida de 3,8 dias) é um gás intensamente radioativo produzido como o produto imediato da decomposição do rádio (com uma meia-vida de 1600 anos). A atmosfera contém traços de radônio próximo ao solo como resultado de infiltração do solo e rochas, todas contendo pequenas quantidades de rádio. Há preocupação em algumas partes do oeste dos Estados Unidos sobre possíveis acúmulos perigosos de radônio em porões de casas cujas fundações de concreto e solo circundante contenham quantidades apreciáveis de rádio, devido à mineração de urânio nas proximidades. Se as constantes de taxa (perdas fracionárias por unidade de tempo, em anos) para a decomposição de rádio e radônio são e , use o resultado da parte (a) para determinar quanto tempo após a conclusão de um porão a quantidade de radônio estará no máximo.
Atualizado em: 4 de setembro de 2024