Encontre o momento polar de inércia em relação à origem de uma placa fina limitada pela cardióide
se a função densidade da placa for
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para encontrar o momento polar de inércia de uma placa fina delimitada pela cardióide
em relação à origem. A densidade da placa é constante, igual a 1. Para isso, vamos usar conceitos de coordenadas polares e integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o momento polar de inércia
em coordenadas polares é dado por:
Aqui,
(densidade constante), então a expressão simplifica para:
Passo 3
A área está delimitada pela cardióide
. Para integrar, precisamos definir os limites de
e
. O
varia de 0 a
, e para cada
,
vai de 0 até
.
Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos integrar primeiro em relação a
:
Portanto, agora temos:
Passo 5
Para facilitar a integração, vamos expandir
usando o binômio:
Assim, a integral fica:
Passo 6
Sabemos que integrais de
e
de 0 a
são zero. Restam então:
Passo 7
Somando os termos:
Então:
Resposta
O momento polar de inércia em relação à origem é
.