Encontre o momento polar de inércia em relação à origem de uma placa fina limitada pela cardióide
se a função densidade da placa for
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para encontrar o momento polar de inércia de uma placa fina delimitada pela cardióide
em relação à origem. A densidade da placa é constante, igual a 1. Para isso, vamos usar conceitos de coordenadas polares e integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o momento polar de inércia
em coordenadas polares é dado por:
Aqui,
(densidade constante), então a expressão simplifica para:
Passo 3
A área está delimitada pela cardióide
. Para integrar, precisamos definir os limites de
e
. O
varia de 0 a
, e para cada
,
vai de 0 até
.
Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos integrar primeiro em relação a
:
Portanto, agora temos:
Passo 5
Para facilitar a integração, vamos expandir
usando o binômio:
Assim, a integral fica:
Passo 6
Sabemos que integrais de
e
de 0 a
são zero. Restam então:
Passo 7
Somando os termos:
Então:
Resposta
O momento polar de inércia em relação à origem é
.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
(17)
(17)
Exercício 2. A equação
conhecida como a equação de Bernoulli, é linear quando
ou
. Mostre que ela pode ser reduzida a uma equação linear para qualquer outro valor de n por meio da mudança de variável
e aplique este método para resolver as seguintes equações:
(a) ;
(b) ;
© .
(a)
(b)
©
Exercício 5. (a) Suponha que um dado elemento radioativo
se decomponha em um segundo elemento radioativo
, e que
por sua vez se decomponha em um terceiro elemento
. Se a quantidade inicial de
presente é
, se as quantidades de
e
presentes em um tempo posterior t são x e
, respectivamente, e se
e
são as constantes de taxa dessas duas reações, encontre y como função do tempo
.
(b) Radônio (com uma meia-vida de 3,8 dias) é um gás intensamente radioativo produzido como o produto imediato da decomposição do rádio (com uma meia-vida de 1600 anos). A atmosfera contém traços de radônio próximo ao solo como resultado de infiltração do solo e rochas, todas contendo pequenas quantidades de rádio. Há preocupação em algumas partes do oeste dos Estados Unidos sobre possíveis acúmulos perigosos de radônio em porões de casas cujas fundações de concreto e solo circundante contenham quantidades apreciáveis de rádio, devido à mineração de urânio nas proximidades. Se as constantes de taxa (perdas fracionárias por unidade de tempo, em anos) para a decomposição de rádio e radônio são e
, use o resultado da parte (a) para determinar quanto tempo após a conclusão de um porão a quantidade de radônio estará no máximo.
Atualizado em: 4 de setembro de 2024
(b) Radônio (com uma meia-vida de 3,8 dias) é um gás intensamente radioativo produzido como o produto imediato da decomposição do rádio (com uma meia-vida de 1600 anos). A atmosfera contém traços de radônio próximo ao solo como resultado de infiltração do solo e rochas, todas contendo pequenas quantidades de rádio. Há preocupação em algumas partes do oeste dos Estados Unidos sobre possíveis acúmulos perigosos de radônio em porões de casas cujas fundações de concreto e solo circundante contenham quantidades apreciáveis de rádio, devido à mineração de urânio nas proximidades. Se as constantes de taxa (perdas fracionárias por unidade de tempo, em anos) para a decomposição de rádio e radônio são
Atualizado em: 4 de setembro de 2024