Encontre o momento polar de inércia em relação à origem de uma placa fina limitada pela cardióide r = 1 + cos(θ) se a função densidade da placa for delta(x, y) = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para encontrar o momento polar de inércia de uma placa fina delimitada pela cardióide em relação à origem. A densidade da placa é constante, igual a 1. Para isso, vamos usar conceitos de coordenadas polares e integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o momento polar de inércia em coordenadas polares é dado por:
Á
Aqui, (densidade constante), então a expressão simplifica para:
Á

Passo 3

A área está delimitada pela cardióide . Para integrar, precisamos definir os limites de e . O varia de 0 a , e para cada , vai de 0 até .
Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos integrar primeiro em relação a :
Portanto, agora temos:

Passo 5

Para facilitar a integração, vamos expandir usando o binômio:
Assim, a integral fica:

Passo 6

Sabemos que integrais de e de 0 a são zero. Restam então:

Passo 7

Somando os termos:
Então:

Resposta

O momento polar de inércia em relação à origem é .

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