Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
(22)
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Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral:
Usaremos o método da substituição para resolver essa integral. Para isso, vamos precisar manipular o denominador e ajustar o numerador de forma que facilite a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração:
. Uma maneira eficiente de fazer isso é completar o quadrado.
Completar o quadrado significa reescrever a expressão quadrática na forma
. Vamos fazer isso:
Explicação:
-
- Então,
Passo 3
Agora, reescrevemos a integral com o denominador simplificado:
Percebemos que o numerador
é semelhante à derivada do denominador
. Isso indica que uma substituição será útil para resolver a integral.
Passo 4
Vamos fazer a seguinte substituição:
Agora, calculamos a derivada de
em relação a
:
Podemos rearranjar essa expressão para isolar
:
Passo 5
Substituindo
e
na integral original, temos:
A integral de
em relação a
é o logaritmo natural de
, ou seja,
. Portanto:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, substituímos
de volta para termos em
:
Simplificando a expressão dentro do logaritmo, obtemos: