Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
(22) integral (x+1) d xx^2+2 x+3

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral:
integral (x+1)x^2+2x+3 , dx
Usaremos o método da substituição para resolver essa integral. Para isso, vamos precisar manipular o denominador e ajustar o numerador de forma que facilite a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração: x^2 + 2x + 3. Uma maneira eficiente de fazer isso é completar o quadrado.
Completar o quadrado significa reescrever a expressão quadrática na forma (x + a)^2 + b. Vamos fazer isso:
x^2 + 2x + 3 = (x + 1)^2 + 2
Explicação:
  • (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1
  • Então, x^2 + 2x + 3 = (x +1)^2 + 2

Passo 3

Agora, reescrevemos a integral com o denominador simplificado:
integral x+1(x +1)^2 + 2 , dx
Percebemos que o numerador (x +1) é semelhante à derivada do denominador (x +1)^2 + 2. Isso indica que uma substituição será útil para resolver a integral.

Passo 4

Vamos fazer a seguinte substituição:
u = (x +1)^2 + 2
Agora, calculamos a derivada de u em relação a x:
du = 2(x +1) , dx
Podemos rearranjar essa expressão para isolar (x +1) , dx:
(x +1) , dx = 12 , du

Passo 5

Substituindo u e du na integral original, temos:
integral x+1(x +1)^2 +2 , dx = integral 12 cdot 1u , du = 12 integral 1u , du
A integral de 1u em relação a u é o logaritmo natural de u, ou seja, ln|u|. Portanto:
12 ln|u| + C
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, substituímos u de volta para termos em x:
12 ln[(x +1)^2 +2] + C
Simplificando a expressão dentro do logaritmo, obtemos:
12 ln(x^2+2x+3) + C

Resposta

12 ln(x^2+2x+3) + C

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