Exercício 2. A equação
conhecida como a equação de Bernoulli, é linear quando
ou
. Mostre que ela pode ser reduzida a uma equação linear para qualquer outro valor de n por meio da mudança de variável
e aplique este método para resolver as seguintes equações:
(a)
;
(b)
;
©
.
(a)
(b)
©
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A gente tem uma equação chamada de Bernoulli:
Essa equação é linear quando
ou
. Nosso objetivo é mostrar que, para qualquer outro valor de
, a gente pode transformar essa equação numa equação linear usando a mudança de variável
. Depois, vamos aplicar esse método para resolver as equações listadas nas partes (a), (b) e ©.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a mudança de variável
. Essa substituição ajuda a transformar a equação de Bernoulli numa equação linear, que é mais fácil de resolver. Vamos derivar
em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos substituir
da equação original na expressão acima:
Substituindo isso na equação de Bernoulli:
Passo 4
Como
, podemos expressar
em termos de
:
Substituindo isso na equação:
Passo 5
Vamos simplificar a equação. Multiplicando todos os termos por
:
Agora, temos uma equação linear na forma padrão:
onde
e
.
Passo 6
Com essa equação linear, podemos usar o método do fator integrante para resolver. O fator integrante é dado por:
Multiplicamos a equação linear por
para facilitar a integração.
Passo 7
Após multiplicar e integrar, encontramos a solução para
. Depois disso, lembrando que
, podemos resolver para
elevando ambos os lados à potência
:
Passo 8
Agora, vamos aplicar esse método na parte (a).
Parte (a)
Passo 9
Aqui, a gente tem a equação:
Vamos comparar com a forma geral da equação de Bernoulli:
Identificando os termos:
Passo 10
Vamos fazer a mudança de variável
. Agora, vamos derivar
em relação a
:
Passo 11
Resolvendo para
:
Passo 12
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Passo 13
Dividindo todos os termos por
:
Lembrando que
:
Passo 14
Multiplicando a equação por
para isolar
:
Agora, temos uma equação linear na forma:
com
e
.
Passo 15
Calculando o fator integrante:
Passo 16
Multiplicando a equação por
:
Isso simplifica para:
Passo 17
Integrando ambos os lados:
Multiplicando por
:
Passo 18
Lembrando que
:
Invertendo os dois lados:
Resposta
A solução geral da equação
é:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
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(06)
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se a função densidade da placa for
.
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(17)
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.