Exercício 2. A equação
conhecida como a equação de Bernoulli, é linear quando ou . Mostre que ela pode ser reduzida a uma equação linear para qualquer outro valor de n por meio da mudança de variável e aplique este método para resolver as seguintes equações:
(a) ;
(b) ;
© .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A gente tem uma equação chamada de Bernoulli:
Essa equação é linear quando ou . Nosso objetivo é mostrar que, para qualquer outro valor de , a gente pode transformar essa equação numa equação linear usando a mudança de variável . Depois, vamos aplicar esse método para resolver as equações listadas nas partes (a), (b) e ©.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a mudança de variável . Essa substituição ajuda a transformar a equação de Bernoulli numa equação linear, que é mais fácil de resolver. Vamos derivar em relação a :

Passo 3

Agora, vamos substituir da equação original na expressão acima:
Substituindo isso na equação de Bernoulli:

Passo 4

Como , podemos expressar em termos de :
Substituindo isso na equação:

Passo 5

Vamos simplificar a equação. Multiplicando todos os termos por :
Agora, temos uma equação linear na forma padrão:
onde e .

Passo 6

Com essa equação linear, podemos usar o método do fator integrante para resolver. O fator integrante é dado por:
Multiplicamos a equação linear por para facilitar a integração.

Passo 7

Após multiplicar e integrar, encontramos a solução para . Depois disso, lembrando que , podemos resolver para elevando ambos os lados à potência :

Passo 8

Agora, vamos aplicar esse método na parte (a).

Parte (a)

Passo 9

Aqui, a gente tem a equação:
Vamos comparar com a forma geral da equação de Bernoulli:
Identificando os termos:

Passo 10

Vamos fazer a mudança de variável . Agora, vamos derivar em relação a :

Passo 11

Resolvendo para :

Passo 12

Substituindo na equação original:
Simplificando:

Passo 13

Dividindo todos os termos por :
Lembrando que :

Passo 14

Multiplicando a equação por para isolar :
Agora, temos uma equação linear na forma:
com e .

Passo 15

Calculando o fator integrante:

Passo 16

Multiplicando a equação por :
Isso simplifica para:

Passo 17

Integrando ambos os lados:
Multiplicando por :

Passo 18

Lembrando que :
Invertendo os dois lados:

Resposta

A solução geral da equação é:
onde é a constante de integração.

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