Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
(21) integral arccos ^2 x d xraiz1-x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui a gente vai usar o método da substituição, que faz a gente trocar uma parte da integral por uma variável mais fácil de trabalhar. Vamos precisar saber um pouco sobre integrais e funções trigonométricas inversas, como a arccos.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar du = -1raiz1 - x^2 , dx Rightarrow dx = -raiz1 - x^2 , du . Assim, precisamos encontrar em termos de .
Sabemos que a derivada de é . Então, rearranjando, temos:

Passo 3

Agora, vamos expressar toda a integral em termos de integral u^2raiz1 - x^2 cdot (-raiz1 - x^2) , du = -integral u^2 , du . Substituindo e , a integral fica:
Os termos se cancelam, simplificando bastante a integral.

Passo 4

Agora, precisamos integrar -integral u^2 , du = -u^33 + C . A integral de em relação a é . Então:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Por último, vamos voltar à variável original -(arccos x)^33 + C . Lembrando que fizemos , substituímos de volta:

Resposta

A integral é igual a .

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