Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
(49) integral sin 2 x d xraiz1+cos ^2 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Isso faz parte do cálculo integral, especificamente usando o método de substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da função para substituir por uma nova variável, facilitando a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que sin 2x = 2 sin x cos x pode ser reescrita usando a identidade trigonométrica:
integral 2 sin x cos x , dxraiz1+cos^2 x
Assim, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = cos x
Então, a derivada de du = -sin x , dx Rightarrow sin x , dx = -du em relação a é:

Passo 4

Substituindo integral 2 sin x cos x , dxraiz1+cos^2 x = integral 2u (-du)raiz1+u^2 = -2 integral u , duraiz1+u^2 e na integral, temos:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a integral v = 1 + u^2 Rightarrow dv = 2u , du Rightarrow u , du = dv2 . Para isso, fazemos outra substituição:
-2 integral uraizv cdot dv2 = -integral 1raizv , dv
Substituindo na integral:

Passo 6

A integral integral v^-1/2 , dv = 2 raizv + C é uma integral conhecida:
- integral 1raizv , dv = -2 raizv + C
Portanto:

Passo 7

Lembrando que -2 raiz1 + u^2 + C = -2 raiz1 + cos^2 x + C e , substituímos de volta:

Resposta

A integral -2 raiz1 + cos^2 x + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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