Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
(36)
(36)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral
. A matéria envolvida aqui é Cálculo Integral, especificamente o método da substituição. Para resolver, vamos precisar entender como escolher uma substituição adequada que simplifique a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da expressão que podemos substituir. Observamos que dentro da raiz temos
. Vamos chamar essa expressão de
. Então, nossa substituição será:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, que é
. Fazendo isso:
Isso significa que:
Mas na nossa integral original, não temos um termo com
. Para contornar isso, vamos resolver para
:
Nesse ponto, percebemos que ainda temos um
na expressão, o que não é ideal. Então, vamos tentar outra abordagem.
Passo 4
Vamos tentar uma substituição trigonométrica. Sabemos que integrais da forma
resultam em funções arco seno. Aqui, temos
, então podemos reescrever
como
:
Agora, vamos fazer a substituição:
Passo 5
Com a substituição
, derivamos ambos os lados em relação a
:
Então, isolando
:
Passo 6
Agora, substituímos
e
na integral original:
Simplificando:
Passo 7
Integrando, temos:
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Lembrando que fizemos
, então:
Passo 8
Substituindo
de volta na expressão integrada:
Resposta
A integral
é igual a
.
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(25)
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(20)
(20)
Uma função diferenciável
tem, no ponto
, derivada direcional igual a 3 na direção
e igual a -1 na direção
. Calcule
onde
é o vetor
.
Se
volts for o potencial elétrico num ponto
do espaço tridimensional e
ache:
(a) a taxa de variação de no ponto
, na direção do vetor
(a) a taxa de variação de