Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
(36)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral . A matéria envolvida aqui é Cálculo Integral, especificamente o método da substituição. Para resolver, vamos precisar entender como escolher uma substituição adequada que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da expressão que podemos substituir. Observamos que dentro da raiz temos . Vamos chamar essa expressão de . Então, nossa substituição será:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a , que é . Fazendo isso:
Isso significa que:
Mas na nossa integral original, não temos um termo com . Para contornar isso, vamos resolver para :
Nesse ponto, percebemos que ainda temos um na expressão, o que não é ideal. Então, vamos tentar outra abordagem.

Passo 4

Vamos tentar uma substituição trigonométrica. Sabemos que integrais da forma resultam em funções arco seno. Aqui, temos , então podemos reescrever como :
Agora, vamos fazer a substituição:

Passo 5

Com a substituição , derivamos ambos os lados em relação a :
Então, isolando :

Passo 6

Agora, substituímos e na integral original:
Simplificando:

Passo 7

Integrando, temos:
Agora, precisamos voltar para a variável original . Lembrando que fizemos , então:

Passo 8

Substituindo de volta na expressão integrada:

Resposta

A integral é igual a .

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ache:
(a) a taxa de variação de no ponto , na direção do vetor