Uma função diferenciável tem, no ponto , derivada direcional igual a 3 na direção e igual a -1 na direção . Calcule onde é o vetor .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função diferenciável e, no ponto , conhecemos as derivadas direcionais em duas direções específicas. Nosso objetivo é calcular a derivada direcional de nessa mesma localização, mas na direção do vetor . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas direcionais e como elas se relacionam com o gradiente da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada direcional. A derivada direcional de uma função em um ponto na direção de um vetor é dada por:
Aqui, é o gradiente de no ponto , e representa o produto escalar.

Passo 3

Vamos chamar o gradiente de no ponto de , onde é a derivada parcial em relação a e em relação a .
Temos duas informações sobre as derivadas direcionais:
  1. Na direção , a derivada direcional é 3.
  2. Na direção , a derivada direcional é -1.
Vamos usar essas informações para montar um sistema de equações e encontrar e .

Passo 4

Primeiro, normalizamos os vetores direções para obter vetores unitários:
Agora, aplicamos a fórmula da derivada direcional:
Isso nos dá duas equações:

Passo 5

Vamos multiplicar ambas as equações por 5 para simplificar:
Agora temos um sistema linear:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema. Primeiro, podemos multiplicar a primeira equação por 4 e a segunda por 3 para igualar os coeficientes de :
Agora, subtraímos a segunda equação da primeira:

Passo 7

Com , substituímos na primeira equação original:
Então, temos .

Passo 8

Agora, queremos encontrar a derivada direcional na direção de . Primeiro, normalizamos :
Aplicamos a fórmula da derivada direcional:

Resposta

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Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
(36)
Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
(25)
Se volts for o potencial elétrico num ponto do espaço tridimensional e
ache:
(a) a taxa de variação de no ponto , na direção do vetor
Se volts for o potencial elétrico num ponto do espaço tridimensional e
ache:
(b) a direção e sentido em que se dá a maior taxa de variação de em .