Uma função diferenciável
tem, no ponto
, derivada direcional igual a 3 na direção
e igual a -1 na direção
. Calcule
onde
é o vetor
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função diferenciável
e, no ponto
, conhecemos as derivadas direcionais em duas direções específicas. Nosso objetivo é calcular a derivada direcional de
nessa mesma localização, mas na direção do vetor
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas direcionais e como elas se relacionam com o gradiente da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivada direcional. A derivada direcional de uma função
em um ponto
na direção de um vetor
é dada por:
Aqui,
é o gradiente de
no ponto
, e
representa o produto escalar.
Passo 3
Vamos chamar o gradiente de
no ponto
de
, onde
é a derivada parcial em relação a
e
em relação a
.
Temos duas informações sobre as derivadas direcionais:
- Na direção
, a derivada direcional é 3. - Na direção
, a derivada direcional é -1.
Vamos usar essas informações para montar um sistema de equações e encontrar
e
.
Passo 4
Primeiro, normalizamos os vetores direções para obter vetores unitários:
Agora, aplicamos a fórmula da derivada direcional:
Isso nos dá duas equações:
Passo 5
Vamos multiplicar ambas as equações por 5 para simplificar:
Agora temos um sistema linear:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, podemos multiplicar a primeira equação por 4 e a segunda por 3 para igualar os coeficientes de
:
Agora, subtraímos a segunda equação da primeira:
Passo 7
Com
, substituímos na primeira equação original:
Então, temos
.
Passo 8
Agora, queremos encontrar a derivada direcional na direção de
. Primeiro, normalizamos
:
Aplicamos a fórmula da derivada direcional:
Resposta
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Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
(36)
(36)
Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
(25)
(25)
Se
volts for o potencial elétrico num ponto
do espaço tridimensional e
ache:
(a) a taxa de variação de no ponto
, na direção do vetor
(a) a taxa de variação de
Se
volts for o potencial elétrico num ponto
do espaço tridimensional e
ache:
(b) a direção e sentido em que se dá a maior taxa de variação de em
.
(b) a direção e sentido em que se dá a maior taxa de variação de