Se volts for o potencial elétrico num ponto do espaço tridimensional e
ache:
(a) a taxa de variação de no ponto , na direção do vetor

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um potencial elétrico e pede para a gente achar a taxa de variação desse potencial no ponto na direção do vetor . Vamos usar cálculo de derivadas direcionais pra resolver isso. O que precisamos fazer inclui calcular o gradiente de , normalizar o vetor e depois aplicar a fórmula da derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente de . O gradiente é um vetor que aponta na direção da maior taxa de aumento da função e é composto pelas derivadas parciais de em relação a , e . Então, vamos achar , e .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Usando a regra da cadeia:
De maneira semelhante:
Então, o gradiente fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto . Primeiro, calculamos :
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 5

Agora, vamos normalizar o vetor . Normalizar significa transformar o vetor em um vetor unitário, ou seja, com comprimento 1. Para isso, calculamos o módulo de :
Então, o vetor unitário é:

Passo 6

Por fim, a derivada direcional de na direção de é o produto escalar do gradiente por :
Calculando o produto escalar:

Resposta

A taxa de variação de no ponto na direção do vetor é volts por unidade de distância.

Exercícios relacionados

Uma função diferenciável tem, no ponto , derivada direcional igual a 3 na direção e igual a -1 na direção . Calcule onde é o vetor .
Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
(36)
Se volts for o potencial elétrico num ponto do espaço tridimensional e
ache:
(b) a direção e sentido em que se dá a maior taxa de variação de em .
Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
(52)