Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
(44) integral (x-arctan x) d x1+x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais usando o método da substituição. A gente vai precisar entender como escolher uma parte da integral para substituir por uma variável mais simples, facilitando a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar o trabalho:
integral (x - arctan x)1 + x^2 , dx = integral x1 + x^2 , dx - integral arctan x1 + x^2 , dx
Assim, temos duas integrais mais simples para resolver.

Passo 3

Vamos resolver a primeira integral: du = 2x , dx Rightarrow du2 = x , dx . Aqui, a gente pode usar a substituição integral x1 + x^2 , dx = 12 integral 1u , du = 12 ln|u| + C = 12 ln(1 + x^2) + C .
Calculando a derivada de em relação a :
Substituindo na integral:

Passo 4

Agora, vamos para a segunda integral: dtdx = 11 + x^2 Rightarrow dx = (1 + x^2) , dt . Para essa, também vamos usar uma substituição, mas um pouco diferente. Vamos deixar integral arctan x1 + x^2 , dx = integral t cdot dt = 12 t^2 + C = 12 (arctan x)^2 + C .
Sabendo que a derivada de é:
Substituindo na integral:

Resposta

Juntando as duas partes resolvidas, a integral original é:
integral (x - arctan x)1 + x^2 , dx = 12 ln(1 + x^2) - 12 (arctan x)^2 + C

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