Calcule as integrais:
(m) integral x^5 raizx^2+2 d x.

Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse exercício envolve o cálculo de integrais usando substituição. Para resolver, vamos precisar aplicar a técnica de substituição adequada e manipular expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a parte dentro da raiz, . Para simplificar a integral, vamos fazer uma substituição onde . Assim, precisamos encontrar .

Passo 3

Calculando a derivada de du = ddx(x^2 + 2) , dx = 2x , dx em relação a :
Isso nos dá , ou seja, .

Passo 4

Agora, vamos expressar a integral em termos de . Note que . Podemos reescrever como , já que .

Passo 5

Substituindo tudo na integral original:
integral x^5 raizx^2+2 , dx = integral (u - 2)^2 cdot raizu cdot du2
Isso simplifica para:
12 integral (u - 2)^2 u^1/2 , du

Passo 6

Vamos expandir (u - 2)^2 = u^2 - 4u + 4 :
12 integral (u^2 - 4u + 4) u^1/2 , du = 12 integral (u^2.5 - 4u^1.5 + 4u^0.5) , du
Substituindo de volta na integral:

Passo 7

Agora, integremos termo a termo:
12 ( u^3.53.5 - 4 cdot u^2.52.5 + 4 cdot u^1.51.5 ) + C
Simplificando:
12 ( 27 u^3.5 - 85 u^2.5 + 83 u^1.5 ) + C

Passo 8

Distribuindo o 17 u^3.5 - 45 u^2.5 + 43 u^1.5 + C :

Passo 9

Agora, substituímos 17 (x^2 + 2)^3.5 - 45 (x^2 + 2)^2.5 + 43 (x^2 + 2)^1.5 + C de volta:

Resposta

A integral 17 (x^2 + 2)^3.5 - 45 (x^2 + 2)^2.5 + 43 (x^2 + 2)^1.5 + C é igual a:

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