(6,0) Calcule as seguintes integrais: integral ln (2 x+3)raiz2 x+3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando funções que envolvem logaritmos e raízes. Para resolver isso, vamos precisar usar substituição ( -substituição) e integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos deixar:
u = 2x + 3
Então, a derivada de du = 2 , dx Rightarrow dx = du2 em relação a é:

Passo 3

Agora, substituímos integral ln uraizu cdot du2 = 12 integral ln uraizu , du e 12 integral ln u cdot u^-1/2 , du na integral original:
Para facilitar, reescrevemos como :

Passo 4

Vamos usar a técnica de integração por partes, onde:
integral v , dw = v cdot w - integral w , dv
Escolhemos:
v = ln u Rightarrow dv = 1u , du
dw = u^-1/2 , du Rightarrow w = 2u^1/2
Aplicando a integração por partes:
12 ( ln u cdot 2u^1/2 - integral 2u^1/2 cdot 1u , du )
Simplificando:
12 ( 2u^1/2 ln u - 2 integral u^-1/2 , du )
= u^1/2 ln u - integral u^-1/2 , du
A integral de integral u^-1/2 , du = 2u^1/2 é:
u^1/2 ln u - 2u^1/2 + C
Portanto:

Passo 5

Finalmente, substituímos raiz2x + 3 cdot ln(2x + 3) - 2raiz2x + 3 + C de volta para :

Resposta

A integral é igual a:
raiz2x + 3 cdot ln(2x + 3) - 2raiz2x + 3 + C

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