(6,0) Calcule as seguintes integrais: integral 2 arctg^3(x)x^2+1 d x

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para calcular a integral . Vamos utilizar conceitos de cálculo integral, especificamente a técnica de substituição. Para resolver, precisamos identificar uma parte da função que podemos substituir por uma variável mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a integral. Observamos que u = arctg(x) é uma boa candidata para substituição, já que sua derivada está presente no denominador.
Definimos:
dudx = 1x^2 + 1
Agora, calculamos a derivada de du = 1x^2 + 1 , dx em relação a :
Ou seja:

Passo 3

Agora, substituímos na integral original usando a substituição que fizemos. Vamos reescrever a integral em termos de integral 2 arctg^3(x)x^2+1 , dx = integral 2u^3 , du :

Passo 4

Agora, vamos integrar integral 2u^3 , du = 2 cdot u^44 + C = u^42 + C em relação a :
Onde é a constante de integração.

Resposta

Substituindo integral 2 arctg^3(x)x^2+1 , dx = 12 arctg^4(x) + C de volta, a integral fica:

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