Calcule as integrais:
(n) integral0^1 1(x^2+1)^2 d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais definidas de funções polinomiais. Para resolver, vamos precisar saber como expandir expressões algébricas e integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o termo (x^2 + 1)^2 = (x^2)^2 + 2 cdot x^2 cdot 1 + 1^2 = x^4 + 2x^2 + 1 . Para isso, usamos a identidade .

Passo 3

Agora que temos a expressão expandida, a integral fica:
integral0^1 (x^4 + 2x^2 + 1) , dx
Vamos integrar cada termo separadamente. A regra básica de integração para integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C é:
onde é a constante de integração, que não precisaremos aqui porque estamos calculando uma integral definida.

Passo 4

Aplicando a regra de integração a cada termo:
integral x^4 , dx = x^55 integral 2x^2 , dx = 2 cdot x^33 = 2x^33 integral 1 , dx = x
Então, a integral completa fica:
integral0^1 (x^4 + 2x^2 + 1) , dx = [ x^55 + 2x^33 + x ]0^1

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1. Substituímos 1^55 + 2 cdot 1^33 + 1 = 15 + 23 + 1 por 1 e depois por 0 e subtraímos:
Para 0^55 + 2 cdot 0^33 + 0 = 0 + 0 + 0 = 0 :
( 15 + 23 + 1 ) - 0 = 15 + 23 + 1
Para :
Subtraindo:

Passo 6

Vamos somar as frações:
15 + 23 = 315 + 1015 = 1315
Então:
1315 + 1 = 1315 + 1515 = 2815

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados