Calcule as integrais de produtos de funções trigonométricas a seguir: integral sen(3 x) sen(-2 x) d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral sen(3 x) sen(-2 x) d x. Esse exercício envolve calcular a integral de um produto de funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar uma identidade trigonométrica que nos ajuda a simplificar o produto de senos em termos de funções de coseno, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, observe que sen(-2 x) = -sen(2 x), já que o seno é uma função ímpar. Então, a integral fica:
integral sen(3 x) sen(-2 x) d x = -integral sen(3 x) sen(2 x) d x

Passo 3

Agora, vamos usar a identidade trigonométrica:
sen(A) sen(B) = 12 [cos(A - B) - cos(A + B)]
No nosso caso, A = 3x e B = 2x. Aplicando a identidade:
sen(3 x) sen(2 x) = 12 [cos(3x - 2x) - cos(3x + 2x)] = 12 [cos(x) - cos(5x)]

Passo 4

Substituindo de volta na integral:
-integral sen(3 x) sen(2 x) d x = -integral 12 [cos(x) - cos(5x)] d x = -12 integral cos(x) d x + 12 integral cos(5x) d x

Passo 5

Agora, vamos integrar cada termo:
  • A integral de cos(x) é sen(x).
  • A integral de cos(5x) é 15 sen(5x).
Portanto:
-12 sen(x) + 12 cdot 15 sen(5x) + C = -12 sen(x) + 110 sen(5x) + C

Resposta

integral sen(3 x) sen(-2 x) d x = 110 sen(5x) - 12 sen(x) + C

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