Utilize as diversas técnicas vistas em sala (dessa e da outra lista) para calcular as diversas integrais a seguir:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui, estamos trabalhando com integrais de funções racionais, que envolvem polinômios no numerador e no denominador. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar a fração e usar substituição para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o denominador
. Esse polinômio pode ser fatorado ou completado o quadrado para simplificar a expressão. Vamos completar o quadrado:
Então, nossa integral fica:
Passo 3
Agora, vamos simplificar o numerador para facilitar a integração. A ideia é escrever
de uma forma que relacione com o denominador
. Vamos expressar
como
, onde
e
são constantes que precisamos encontrar.
Expandindo o lado direito:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Substituindo
na segunda equação:
Portanto,
.
Passo 4
Substituindo essa expressão de volta na integral:
Simplificando cada termo:
Passo 5
Agora, vamos integrar cada parte separadamente. Lembre-se das seguintes integrais básicas:
Usando substituição
, temos
.
Então,
Resposta
Somando as integrais, a solução final é:
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, definida no intervalo
, eixo das abscissas e a reta vertical
.
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.
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.