Utilize as diversas técnicas vistas em sala (dessa e da outra lista) para calcular as diversas integrais a seguir: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos trabalhando com integrais de funções racionais, que envolvem polinômios no numerador e no denominador. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar a fração e usar substituição para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador . Esse polinômio pode ser fatorado ou completado o quadrado para simplificar a expressão. Vamos completar o quadrado:
Então, nossa integral fica:

Passo 3

Agora, vamos simplificar o numerador para facilitar a integração. A ideia é escrever de uma forma que relacione com o denominador . Vamos expressar como , onde e são constantes que precisamos encontrar.
Expandindo o lado direito:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Substituindo na segunda equação:
Portanto, .

Passo 4

Substituindo essa expressão de volta na integral:
Simplificando cada termo:

Passo 5

Agora, vamos integrar cada parte separadamente. Lembre-se das seguintes integrais básicas:
Usando substituição , temos .
Então,

Resposta

Somando as integrais, a solução final é:

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