Utilize as diversas técnicas vistas em sala (dessa e da outra lista) para calcular as diversas integrais a seguir: integral (3 z-8) d zz^2+4 z+4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos trabalhando com integrais de funções racionais, que envolvem polinômios no numerador e no denominador. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar a fração e usar substituição para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador z^2 + 4z + 4 = (z + 2)^2 . Esse polinômio pode ser fatorado ou completado o quadrado para simplificar a expressão. Vamos completar o quadrado:
integral 3z - 8(z + 2)^2 , dz
Então, nossa integral fica:

Passo 3

Agora, vamos simplificar o numerador para facilitar a integração. A ideia é escrever 3z - 8 = A(z + 2) + B de uma forma que relacione com o denominador 3z - 8 = Az + 2A + B . Vamos expressar A = 3 2A + B = -8 como 2(3) + B = -8 6 + B = -8 B = -14 , onde e são constantes que precisamos encontrar.
Expandindo o lado direito:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Substituindo na segunda equação:
Portanto, .

Passo 4

Substituindo essa expressão de volta na integral:
integral 3(z + 2) - 14(z + 2)^2 , dz = integral ( 3(z + 2)(z + 2)^2 - 14(z + 2)^2 ) , dz
Simplificando cada termo:
integral ( 3z + 2 - 14(z + 2)^2 ) , dz

Passo 5

Agora, vamos integrar cada parte separadamente. Lembre-se das seguintes integrais básicas:
integral 1u , du = ln |u| + C
integral 1u^2 , du = -1u + C
Usando substituição integral 3z + 2 , dz = 3 ln |z + 2| , temos integral -14(z + 2)^2 , dz = 14 cdot 1z + 2 .
Então,

Resposta

Somando as integrais, a solução final é:
3 ln |z + 2| + 14z + 2 + C

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