Calcule a integral indefinida:
Passo 1
Vamos resolver a integral
. Estamos lidando com uma integral que envolve uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver esse tipo de integral, vamos precisar usar a divisão polinomial para simplificar a expressão antes de integrar.
Passo 2
Primeiro, observamos que o grau do numerador (3) é maior que o grau do denominador (2). Isso significa que precisamos fazer a divisão polinomial para simplificar a fração. Vamos dividir
por
.
Passo 3
Dividindo
por
:
Aqui, realizamos a divisão e obtemos um termo polinomial
mais uma fração simplificada
.
Passo 4
Agora, a integral fica:
Vamos integrar cada termo separadamente.
Passo 5
Integraremos o primeiro termo
:
Usamos a regra de integração básica onde
, aplicando para
.
Passo 6
Integraremos o segundo termo
:
Aqui, integramos uma constante, o que resulta na constante multiplicada pela variável.
Passo 7
Agora, vamos integrar o terceiro termo
. Primeiro, simplificamos o denominador:
Então, a fração fica:
Para integrar essa expressão, usamos a fração parcial.
Passo 8
Vamos decompor
em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Resolvendo para
e
, obtemos
e
.
Passo 9
Então, a fração parcial fica:
Agora, podemos integrar cada termo separadamente.
Passo 10
Integrando
e
:
Passo 11
Agora, somamos todas as integrais:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral indefinida é:
Exercícios relacionados
Utilize as diversas técnicas vistas em sala (dessa e da outra lista) para calcular as diversas integrais a seguir:
.
Utilizando a integral de Riemann, calcular a área da figura delimitada pala reta
, definida no intervalo
, eixo das abscissas e a reta vertical
.
Calcule as integrais de produtos de funções trigonométricas a seguir:
.
Calcule a integral indefinida: