Calcule a integral indefinida:

Passo 1

Vamos resolver a integral . Estamos lidando com uma integral que envolve uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver esse tipo de integral, vamos precisar usar a divisão polinomial para simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, observamos que o grau do numerador (3) é maior que o grau do denominador (2). Isso significa que precisamos fazer a divisão polinomial para simplificar a fração. Vamos dividir por .

Passo 3

Dividindo por :
Aqui, realizamos a divisão e obtemos um termo polinomial mais uma fração simplificada .

Passo 4

Agora, a integral fica:
Vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 5

Integraremos o primeiro termo :
Usamos a regra de integração básica onde , aplicando para .

Passo 6

Integraremos o segundo termo :
Aqui, integramos uma constante, o que resulta na constante multiplicada pela variável.

Passo 7

Agora, vamos integrar o terceiro termo . Primeiro, simplificamos o denominador:
Então, a fração fica:
Para integrar essa expressão, usamos a fração parcial.

Passo 8

Vamos decompor em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por , temos:
Resolvendo para e , obtemos e .

Passo 9

Então, a fração parcial fica:
Agora, podemos integrar cada termo separadamente.

Passo 10

Integrando e :

Passo 11

Agora, somamos todas as integrais:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral indefinida é:

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