Calcule a integral indefinida:
ll integral 2 x^3x^2+x d x & integral 2 x+12 x^2+3 x-2 d x integral x-1x^3+x^2-4 x-4 d x & integral 3 x^22 x^3-x^2-2 x+1 d x integral x^2+5 x+4x^2-2 x+1 d x & integral x-1(x-2)^2(x-3)^2 d x integral (x^2+1)x^4-7 x^3+18 x^2-20 x+8 d x & integral d xx^3-4 x^2 integral x^3+2 x^2+42 x^2+2 d x & integral 5 d xx^3+4 x integral 3 x-1x^2-x+1 d x & integral d xx^3+8 integral x-1(x^2+2 x+3)^2 d x & integral d xx(x^2-x+1)^2 integral 4 x^4x^4-x^3-6 x^2+4 x+8 d x & integral x^23 x^2-12 x-12 d x integral d xx^3+9 x & integral d x(x^2+1)(x^2+4) integral x^3+x^2+2 x+1x^3-1 d x & integral x^3 d x(x^2+2)^2 integral d xx^4-3 x^3+3 x^2-x & integral x d x(x-1)^2(x+1)^2

Passo 1

Vamos resolver a integral . Estamos lidando com uma integral que envolve uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver esse tipo de integral, vamos precisar usar a divisão polinomial para simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, observamos que o grau do numerador (3) é maior que o grau do denominador (2). Isso significa que precisamos fazer a divisão polinomial para simplificar a fração. Vamos dividir por .

Passo 3

Dividindo 2x^3x^2 + x = 2x - 2 + 2x^2 + x por :
Aqui, realizamos a divisão e obtemos um termo polinomial mais uma fração simplificada .

Passo 4

Agora, a integral fica:
integral (2x - 2 + 2x^2 + x) dx
Vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 5

Integraremos o primeiro termo integral 2x , dx = x^2 :
Usamos a regra de integração básica onde , aplicando para .

Passo 6

Integraremos o segundo termo integral (-2) , dx = -2x :
Aqui, integramos uma constante, o que resulta na constante multiplicada pela variável.

Passo 7

Agora, vamos integrar o terceiro termo x^2 + x = x(x + 1) . Primeiro, simplificamos o denominador:
2x(x + 1)
Então, a fração fica:
Para integrar essa expressão, usamos a fração parcial.

Passo 8

Vamos decompor 2x(x + 1) = Ax + Bx + 1 em frações parciais:
2 = A(x + 1) + Bx
Multiplicando ambos os lados por , temos:
Resolvendo para e , obtemos e .

Passo 9

Então, a fração parcial fica:
2x(x + 1) = 2x - 2x + 1
Agora, podemos integrar cada termo separadamente.

Passo 10

Integrando integral 2x , dx = 2 ln|x| e integral -2x + 1 , dx = -2 ln|x + 1| :

Passo 11

Agora, somamos todas as integrais:
x^2 - 2x + 2 ln|x| - 2 ln|x + 1| + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral indefinida é:
x^2 - 2x + 2 ln|x| - 2 ln|x + 1| + C

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