Então, estamos aqui para resolver a integral indefinida:
O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar manipular as expressões trigonométricas e possivelmente usar substituições para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador . Sabemos que , então podemos reescrever o denominador:
Passo 3
Agora, substituindo de volta na integral:
Passo 4
Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja . Então, a derivada de em relação a é:
Passo 5
Observando a integral, temos e na expressão. Vamos ajustar a integral usando nossa substituição:
Substituindo e , rearranjamos:
No entanto, essa substituição não simplifica diretamente a integral. Vamos tentar outra abordagem.
Passo 6
Vamos dividir o numerador e denominador por para simplificar ainda mais:
Agora, fazemos a substituição e , então:
Ainda não está simplificando como queremos. Vamos tentar uma substituição diferente.
Passo 7
Vamos tentar a substituição . Então, . A integral fica:
Precisamos expressar em termos de . Sabemos que , mas isso complica a integral. Vamos tentar outra abordagem.
Passo 8
Vamos retornar à expressão original e multiplicar numerador e denominador por para eliminar a tangente:
Agora, usamos a substituição , então , o que nos dá . A integral fica:
Precisamos expressar em termos de . Sabemos que , então . Além disso, .
Isso complica a integral novamente. Vamos simplificar de outra maneira.
Passo 9
Vamos tentar expressar tudo em termos de , onde :
Dividindo numerador e denominador por :
Mas isso ainda não facilita muito. Parece que precisamos de outra técnica.
Passo 10
Vamos usar a identidade para reescrever o denominador:
Fazendo a substituição , temos . A integral fica:
Mas ainda precisamos expressar em termos de , ou seja, . Isso complica, então vamos considerar outra abordagem.
Passo 11
Vamos tentar uma substituição mais direta. Observe que:
Portanto, a integral se torna:
Agora, fazemos a substituição , então , ou . Substituindo:
Sabemos que , então . Assim:
Precisamos expressar em termos de : , então .
A integral fica:
Essa integral ainda é complicada, então pode ser melhor considerar um método diferente ou simplificar mais.
Passo 12
Vamos tentar uma substituição trigonométrica. Considere . As identidades de substituição são:
Substituindo na integral:
Simplificando os termos:
Então, a integral fica:
Simplificando:
Agora, resolvemos cada parte separadamente:
A primeira integral pode ser resolvida por frações parciais, e a segunda integral simplifica para:
A primeira integral, , é resolvida por frações parciais: