Calcule a integral indefinida:
ll integral 2 d xsen x+tg x & integral d x4+5 cos x integral d x3+cos x & integral d x1-cos x integral 1+cos x1-sen x d x & integral d x3+sen 2 x integral cos (2 t-1)2-cos (2 t-1) d t & integral d t3+sen t+cos t integral e^x d x4 sen e^x-3 cos e^x & integral cos theta d theta1+cos theta integral d xx raiz5 x-x^2-6 & integral d x(x+4) raizx^2+4 x+9 integral d xx raiz4 x^2+x-3 & integral d xraiz1+x+x^2 integral d xx raiz2+x-x^2 & integral x+1(2 x+x^2) raiz2 x+x^2 d x integral d x(x-1) raizx^2-2 x-3 & integral 1-raiz1+x+x^22 x^2 raiz1+x+x^2 d x integral d xraizx^2+3 x+2 & integral d xraizx^2+2 x-3

Passo 1

Então, estamos aqui para resolver a integral indefinida:
integral 2 , dxsin x + tan x
O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar manipular as expressões trigonométricas e possivelmente usar substituições para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador sin x + tan x. Sabemos que tan x = sin xcos x, então podemos reescrever o denominador:
sin x + tan x = sin x + sin xcos x = sin x (1 + 1cos x) = sin x (cos x + 1cos x)

Passo 3

Agora, substituindo de volta na integral:
integral 2 , dxsin x + tan x = integral 2 , dxsin x (cos x + 1cos x) = integral 2 cos x , dxsin x (cos x + 1)

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja u = cos x + 1. Então, a derivada de u em relação a x é:
dudx = -sin x Rightarrow du = -sin x , dx Rightarrow -du = sin x , dx

Passo 5

Observando a integral, temos cos x , dx e sin x , dx na expressão. Vamos ajustar a integral usando nossa substituição:
integral 2 cos x , dxsin x (cos x + 1) = 2 integral cos xsin x (cos x + 1) , dx
Substituindo u = cos x + 1 e -du = sin x , dx, rearranjamos:
= 2 integral cos xu cdot -dusin^2 x
No entanto, essa substituição não simplifica diretamente a integral. Vamos tentar outra abordagem.

Passo 6

Vamos dividir o numerador e denominador por cos x para simplificar ainda mais:
integral 2 , dxsin x + tan x = integral 2 , dxsin x + sin xcos x = integral 2 cos x , dxsin x cos x + sin x = integral 2 cos x , dxsin x (cos x + 1)
Agora, fazemos a substituição u = cos x + 1 e du = -sin x , dx, então:
integral 2 cos x , dxsin x (cos x + 1) = -2 integral cos xu cdot dusin x cos x
Ainda não está simplificando como queremos. Vamos tentar uma substituição diferente.

Passo 7

Vamos tentar a substituição t = sin x. Então, dt = cos x , dx. A integral fica:
integral 2 , dxsin x + tan x = integral 2 , dxsin x + sin xcos x = integral 2 cos x , dxsin x (cos x + 1) = 2 integral dtt (cos x + 1)
Precisamos expressar cos x em termos de t. Sabemos que cos x = raiz1 - t^2, mas isso complica a integral. Vamos tentar outra abordagem.

Passo 8

Vamos retornar à expressão original e multiplicar numerador e denominador por cos x para eliminar a tangente:
integral 2 , dxsin x + tan x = integral 2 cos x , dxsin x cos x + sin x = integral 2 cos x , dxsin x (cos x + 1)
Agora, usamos a substituição u = cos x + 1, então du = -sin x , dx, o que nos dá -du = sin x , dx. A integral fica:
integral 2 cos x , dxsin x (cos x + 1) = -2 integral cos xu sin x , du
Precisamos expressar cos x / sin x em termos de u. Sabemos que u = cos x + 1, então cos x = u - 1. Além disso, sin^2 x = 1 - cos^2 x = 1 - (u - 1)^2.
Isso complica a integral novamente. Vamos simplificar de outra maneira.

Passo 9

Vamos tentar expressar tudo em termos de cot x, onde cot x = cos xsin x:
integral 2 , dxsin x + tan x = integral 2 , dxsin x + sin xcos x = integral 2 cos x , dxsin x (cos x + 1) = 2 integral cos xsin x (cos x + 1) , dx
Dividindo numerador e denominador por sin x:
2 integral cot xcos x + 1 , dx
Mas isso ainda não facilita muito. Parece que precisamos de outra técnica.

Passo 10

Vamos usar a identidade cos^2 x = 1 - sin^2 x para reescrever o denominador:
integral 2 , dxsin x + tan x = integral 2 , dxsin x + sin xcos x = integral 2 cos x , dxsin x (cos x + 1)
Fazendo a substituição u = sin x, temos du = cos x , dx. A integral fica:
2 integral duu (cos x + 1)
Mas ainda precisamos expressar cos x em termos de u, ou seja, cos x = raiz1 - u^2. Isso complica, então vamos considerar outra abordagem.

Passo 11

Vamos tentar uma substituição mais direta. Observe que:
sin x + tan x = sin x + sin xcos x = sin x (1 + 1cos x) = sin x (cos x + 1cos x)
Portanto, a integral se torna:
integral 2 , dxsin x (cos x + 1cos x) = integral 2 cos x , dxsin x (cos x + 1)
Agora, fazemos a substituição u = cos x + 1, então du = -sin x , dx, ou -du = sin x , dx. Substituindo:
integral 2 cos x , dxsin x (cos x + 1) = -2 integral cos xu sin x , du
Sabemos que u = cos x + 1, então cos x = u - 1. Assim:
-2 integral u - 1u sin x , du
Precisamos expressar sin x em termos de u: u = cos x + 1 Rightarrow cos x = u - 1, então sin x = raiz1 - (u - 1)^2 = raiz2u - u^2.
A integral fica:
-2 integral u - 1u raiz2u - u^2 , du
Essa integral ainda é complicada, então pode ser melhor considerar um método diferente ou simplificar mais.

Passo 12

Vamos tentar uma substituição trigonométrica. Considere t = tan x2. As identidades de substituição são:
sin x = 2t1 + t^2, cos x = 1 - t^21 + t^2, dx = 2 , dt1 + t^2
Substituindo na integral:
integral 2sin x + tan x , dx = integral 22t1 + t^2 + 2t1 + t^21 - t^21 + t^2 cdot 2 , dt1 + t^2
Simplificando os termos:
sin x + tan x = 2t1 + t^2 + 2t1 - t^2 = 2t (1 - t^2) + 2t (1 + t^2)(1 + t^2)(1 - t^2) = 2t (2)1 - t^4 = 4t1 - t^4
Então, a integral fica:
integral 24t1 - t^4 cdot 21 + t^2 , dt = integral 2 (1 - t^4)4t cdot 21 + t^2 , dt = integral (1 - t^4)t (1 + t^2) , dt
Simplificando:
= integral 1 - t^4t (1 + t^2) , dt = integral ( 1t (1 + t^2) - t^3t (1 + t^2) ) , dt = integral ( 1t (1 + t^2) - t^21 + t^2 ) , dt
Agora, resolvemos cada parte separadamente:
integral 1t (1 + t^2) , dt - integral t^21 + t^2 , dt
A primeira integral pode ser resolvida por frações parciais, e a segunda integral simplifica para:
integral t^21 + t^2 , dt = integral (1 - 11 + t^2) , dt = integral 1 , dt - integral 11 + t^2 , dt = t - tan^-1 t
A primeira integral, integral 1t (1 + t^2) , dt, é resolvida por frações parciais:
1t (1 + t^2) = At + Bx + C1 + t^2
Resolvendo, encontramos que A = 1, B = -1, e C = 0, então:
integral 1t (1 + t^2) , dt = integral (1t - t1 + t^2) , dt = ln |t| - 12 ln |1 + t^2|

Resposta

Juntando tudo, a integral original se torna:
2 ( ln |t| - 12 ln |1 + t^2| ) - (t - tan^-1 t) + C
Substituindo de volta t = tan x2, temos:
2 ln | tan x2 | - ln |1 + tan^2 x2| - tan x2 + tan^-1 ( tan x2 ) + C
Simplificando, chegamos à resposta final:
2 ln | tan x2 | - ln | sec^2 x2 | - tan x2 + x2 + C
Onde C é a constante de integração.

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