Calcule a integral indefinida:
integral d xx^2 raizx^2-5
integral x^3raizx^2-9 d x
integral x^2 raiz4-x^2 d x
& integral d traiz9-16 t^2 & integral(1-4 t^2)^3 / 2 d t & integral x^3 raizx^2+3 d x
ll integral 5 x+4x^3 raizx^2+1 d x & integral(x+1)^2 raizx^2+1 d x integral t^5raizt^2+16 d t & integral e^xraize^2 x+1 d x integral x^2raiz2-x^2 d x & integral e^xraiz4-e^2 x d x integral x+1raizx^2-1 d x & integral raizx^2-1x^2 d x integral raiz1+x^2x^3 d x & integral (x+1)raiz4-x^2 d x integral (6 x+5)raiz9 x^2+1 d x & integral (x+3)raizx^2+2 x d x integral raiz4-x^2 d x & integral raizx^2-4 d x integral raiz4+x^2 d x & integral(raiz1+x^2+2 x) d x integral(sen x+x^2raiz1+x^2) d x &

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Esse exercício envolve técnicas de integração que usamos em cálculo, especificamente quando temos funções racionais envolvendo raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica ou uma substituição algebrica que simplifique a expressão dentro da raiz. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Observe que temos u = raizx^2 - 5 , que sugere uma substituição do tipo x^2 = u^2 + 5 , mas uma abordagem mais simples é fazer uma substituição que elimine a raiz.
Vamos definir:
Dessa forma, podemos expressar em termos de :

Passo 3

Agora, vamos derivar du = ddx raizx^2 - 5 , dx = xraizx^2 - 5 , dx em relação a dx = raizx^2 - 5x , du = ux , du para encontrar :
Isolando :

Passo 4

Substituímos integral dxx^2 raizx^2 - 5 = integral ux , du(u^2 + 5) cdot u = integral u , dux (u^2 + 5) u = integral dux (u^2 + 5) e integral duraizu^2 + 5 (u^2 + 5) = integral du(u^2 + 5)^3/2 na integral original:
Mas precisamos expressar em termos de . Da substituição inicial, , então:

Passo 5

Agora, temos uma integral mais simples:
integral du(u^2 + 5)^3/2
Vamos usar a substituição dw = 2u , du Rightarrow du = dw2u , então:
integral 1w^3/2 cdot dw2u = 12 integral dww^3/2 u
Substituindo na integral:
12 integral dww^3/2 raizw - 5
Mas integral du(u^2 + a^2)^3/2 = ua^2 raizu^2 + a^2 + C , então:
Essa expressão ainda está complicada, então vamos tentar uma abordagem diferente usando a integral padrão:
onde , então .

Passo 6

Aplicando a fórmula padrão:
Agora, substituímos integral du(u^2 + 5)^3/2 = u5 raizu^2 + 5 + C :

Resposta

A integral indefinida é:
integral dxx^2 raizx^2-5 = raizx^2 - 55 x + C

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