Calcule a integral indefinida:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral indefinida
. Esse exercício envolve técnicas de integração que usamos em cálculo, especificamente quando temos funções racionais envolvendo raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica ou uma substituição algebrica que simplifique a expressão dentro da raiz. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Observe que temos
, que sugere uma substituição do tipo
, mas uma abordagem mais simples é fazer uma substituição que elimine a raiz.
Vamos definir:
Dessa forma, podemos expressar
em termos de
:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
:
Isolando
:
Passo 4
Substituímos
e
na integral original:
Mas precisamos expressar
em termos de
. Da substituição inicial,
, então:
Passo 5
Agora, temos uma integral mais simples:
Vamos usar a substituição
, então:
Substituindo na integral:
Mas
, então:
Essa expressão ainda está complicada, então vamos tentar uma abordagem diferente usando a integral padrão:
onde
, então
.
Passo 6
Aplicando a fórmula padrão:
Agora, substituímos
:
Resposta
A integral indefinida é: