Calcule as integrais de produtos de funções trigonométricas a seguir: integral0^pi cos (4 x) cos (x) d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui a gente está trabalhando com integração de produtos de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma fórmula de produto para soma das funções trigonométricas, que ajuda a simplificar a multiplicação de cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula que transforma o produto de dois cossenos em uma soma:
cos A cos B = 12 [cos (A + B) + cos (A - B)]
Aqui, e .

Passo 3

Aplicando a fórmula na nossa integral:
cos (4x) cos (x) = 12 [cos (4x + x) + cos (4x - x)] = 12 [cos (5x) + cos (3x)]
Então, a integral fica:
integral0^pi cos (4x) cos (x) , dx = 12 integral0^pi [cos (5x) + cos (3x)] , dx

Passo 4

Agora, vamos separar a integral em duas partes:
12 ( integral0^pi cos (5x) , dx + integral0^pi cos (3x) , dx )

Passo 5

Vamos resolver cada integral individualmente. A integral de integral cos (nx) , dx = 1n sin (nx) + C é:

Passo 6

Aplicando isso nas nossas integrais:
integral0^pi cos (5x) , dx = 15 sin (5x) |0^pi = 15 [sin (5pi) - sin (0)] = 0
integral0^pi cos (3x) , dx = 13 sin (3x) |0^pi = 13 [sin (3pi) - sin (0)] = 0

Passo 7

Somando os resultados:
12 (0 + 0) = 0

Resposta

A integral vale 0.

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