Resolver as seguintes integrais definidas:
h) integralpi4^pi2 sen^3 x cos x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo integrais de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar o método de substituição, que facilita a integração quando identificamos uma parte da função cujo derivado também está presente na integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a integral. Observamos que temos e sen^3 x na integral. Sabemos que a derivada de é cos x, o que sugere que podemos deixar . Assim:

Passo 3

Agora, derivamos u em relação a x para encontrar du:
du = cos x , dx
Isso nos permite substituir cos x , dx na integral por du.

Passo 4

Substituindo na integral original, temos:
Vamos calcular os novos limites de integração:
Quando integralpi4^pi2 sen^3 x cos x , dx = integralu(pi4)^u(pi2) u^3 , du ,
Quando x = pi4,

Passo 5

Agora, temos uma integral mais simples:
integralraiz22^1 u^3 , du
A integral de u^3 em relação a u é:
u^44 + C

Passo 6

Aplicando os limites de integração:
[u^44]raiz22^1 = 1^44 - (raiz22)^44
Calculando os termos:
14 - (24)^24 = 14 - 4164 = 14 - 116 = 416 - 116 = 316

Resposta

O valor da integral é 316.

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