Calcule utilizando o método da integração por partes.
(h) integral x ln x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método da integração por partes. Esse método é útil quando temos o produto de duas funções e queremos simplificar a integral. Para isso, vamos precisar identificar quais das duas funções escolhemos para derivar e quais para integrar.

Passo 2

Primeiro, lembrando a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Precisamos escolher e na nossa integral . A regra geral é escolher para ser a função que se simplifica ao derivar.

Passo 3

Vamos definir:
u = ln x Rightarrow du = 1x , dx
E então:
dv = x , dx Rightarrow v = x^22
Aqui, derivamos e integramos .

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x ln x , dx = u , v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= ln x cdot x^22 - integral x^22 cdot 1x , dx

Passo 5

Simplificando a integral restante:
integral x^22 cdot 1x , dx = integral x2 , dx = 12 integral x , dx = 12 cdot x^22 = x^24

Passo 6

Voltando à expressão anterior:
integral x ln x , dx = x^22 ln x - x^24 + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral x^22 ln x - x^24 + C é igual a:

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