Calcule as integrais que seguem
integral t^4 raiz[3]3-5 t^5 d t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral t^4 raiz[3]3-5 t^5 , dt. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com uma substituição para facilitar a resolução. Vamos precisar entender como escolher uma boa substituição e aplicar as fórmulas de integrais básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Note que raiz[3]3 - 5t^5 é o mesmo que (3 - 5t^5)^1/3. Então, a integral fica:
integral t^4 (3 - 5t^5)^1/3 , dt

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Vamos chamar u = 3 - 5t^5. Essa escolha é estratégica porque a derivada de u em relação a t nos ajuda a simplificar o restante da integral.

Passo 4

Calculando a derivada de u em relação a t:
dudt = -25t^4
Isso significa que:
dt = du-25t^4
Mas, olha só, na nossa integral original temos um t^4 dt, que podemos substituir usando a expressão acima.

Passo 5

Substituindo u e dt na integral, temos:
integral t^4 (3 - 5t^5)^1/3 , dt = integral (u)^1/3 cdot ( du-25t^4 ) cdot t^4
Simplificando, o t^4 cancela:
= integral u^1/3-25 , du

Passo 6

Agora, vamos tirar o constante -1/25 para fora da integral:
= -125 integral u^1/3 , du
Para integrar u^1/3, lembramos que a integral de u^n é u^n+1n+1 + C, onde C é a constante de integração.

Passo 7

Aplicando a regra de integração:
-125 cdot u^4/34/3 + C = -3100 u^4/3 + C

Passo 8

Agora, voltamos à variável original substituindo u = 3 - 5t^5:
-3100 (3 - 5t^5)^4/3 + C

Resposta

A integral integral t^4 raiz[3]3-5 t^5 , dt é igual a $ -\dfrac{3}{100} (3 - 5t{5}){4/3} + C$, onde -dfrac3100 (3 - 5t^5)^4/3 + C é a constante de integração.

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