Calcule as integrais das seguintes funções trigonométricas:
(a) integral cos ^3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral de . Isso envolve trabalhar com funções trigonométricas e integrais de potências de cosseno. Para resolver, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que nos ajude a simplificar a expressão para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, observe que cos^3 x = cos x cdot (1 - sin^2 x) pode ser reescrita como . Agora, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica importante: . Então, substituindo na expressão, temos:

Passo 3

Agora, substituímos essa expressão na integral original:
integral cos^3 x , dx = integral cos x cdot (1 - sin^2 x) , dx

Passo 4

Para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição. Vamos deixar du = cos x , dx . Então, a derivada de em relação a é:
Isso significa que pode ser substituído por .

Passo 5

Substituindo na integral, ficamos com:
integral (1 - u^2) , du
Essa é uma integral mais simples de resolver.

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral 1 , du = u
integral u^2 , du = u^33
Então, juntando tudo:
integral (1 - u^2) , du = u - u^33 + C

Passo 7

Por fim, voltamos à variável original substituindo u - u^33 + C = sin x - sin^3 x3 + C :

Resposta

A integral de integral cos^3 x , dx = sin x - sin^3 x3 + C é:

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