Calcule as integrais seguintes usando o método da substituição ou o método da integração por partes.
(11) integral sin t d t(5-cos t)^3

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral usando o método da substituição ou da integração por partes. Vamos utilizar o método da substituição porque a integral parece se simplificar com uma mudança de variável adequada.

Passo 2

Vamos começar escolhendo uma substituição que facilite a integral. Observando o denominador, vamos definir dudt = sin t . Dessa forma, a derivada de em relação a será:

Passo 3

Rearranjando a derivada, temos:
du = sin t , dt
Isso significa que é igual a , o que simplifica a nossa integral.

Passo 4

Substituindo na integral original, ficamos com:
integral duu^3
Isso é equivalente a:
integral u^-3 , du

Passo 5

Integrando integral u^-3 , du = u^-2-2 + C = -12u^2 + C , temos:

Passo 6

Agora, voltamos à variável original -12(5 - cos t)^2 + C , substituindo :

Resposta

A integral é igual a .

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