Calcule as integrais seguintes usando o método da substituição ou o método da integração por partes.
(20) integral ln (1-x) d x

Passo 1

Então, a gente precisa calcular a integral de ln(1 - x) em relação a x. Para isso, vamos usar o método da integração por partes, que é uma técnica bem útil quando temos que integrar o produto de duas funções. Vamos passar por cada etapa juntos para entender direitinho como resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quais partes da nossa integral vão ser u e dv na fórmula da integração por partes, que é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Geralmente, escolhemos u como a função que fica mais simples quando derivada. Aqui, vamos deixar:
u = ln(1 - x)
E, consequentemente:
dv = dx

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du (a derivada de u) e v (a integral de dv).
Primeiro, derivando u:
du = ddx ln(1 - x) , dx = -11 - x , dx
E integrando dv para encontrar v:
v = integral dx = x

Passo 4

Com u, du, v e dv definidos, vamos aplicar a fórmula da integração por partes:
integral ln(1 - x) , dx = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral ln(1 - x) , dx = x ln(1 - x) - integral x cdot ( -11 - x ) dx
Simplificando a integral que ficou:
- integral x1 - x , dx

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
x1 - x = -(x - 1) + 11 - x = -1 + 11 - x
Então, a integral fica:
- integral ( -1 + 11 - x ) dx = integral 1 , dx - integral 11 - x , dx

Passo 6

Agora, vamos calcular essas integrais separadamente:
integral 1 , dx = x
E
integral 11 - x , dx = -ln|1 - x| + C
Então, substituindo de volta:
integral ln(1 - x) , dx = x ln(1 - x) - ( x + ln(1 - x) ) + C
Simplificando os termos:
(x + 1) ln(1 - x) - x + C

Resposta

A integral de ln(1 - x) em relação a x é (x + 1) ln(1 - x) - x + C, onde C é a constante de integração.

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