Calcule as integrais seguintes usando o método da substituição ou o método da integração por partes.
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Passo 1
Então, a gente precisa calcular a integral de
em relação a
. Para isso, vamos usar o método da integração por partes, que é uma técnica bem útil quando temos que integrar o produto de duas funções. Vamos passar por cada etapa juntos para entender direitinho como resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar quais partes da nossa integral vão ser
e
na fórmula da integração por partes, que é:
Geralmente, escolhemos
como a função que fica mais simples quando derivada. Aqui, vamos deixar:
E, consequentemente:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
(a derivada de
) e
(a integral de
).
Primeiro, derivando
:
E integrando
para encontrar
:
Passo 4
Com
,
,
e
definidos, vamos aplicar a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando a integral que ficou:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos calcular essas integrais separadamente:
E
Então, substituindo de volta:
Simplificando os termos:
Resposta
A integral de
em relação a
é
, onde
é a constante de integração.
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Este exercício busca analisar o porquê de
(e) Com base nos itens anteriores, explique o resultado apresentado no início deste problema.
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