Calcule as integrais seguintes usando o método da substituição ou o método da integração por partes.
(17) integral d xraizx(1+raizx)^5

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Essa é uma questão de cálculo integral, especificamente usando métodos de substituição ou integração por partes. Para resolver, a gente vai usar a substituição, que é útil quando conseguimos simplificar a integral mudando a variável.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos deixar . Isso porque a presença de sugere que essa parte pode ser transformada de forma a facilitar a integração.

Passo 3

Agora, precisamos expressar u = 1 + raizx dudx = 12raizx dx = 2raizx , du em termos de . Para isso, derivamos em relação a :

Passo 4

Substituímos integral dxraizx(1+raizx)^5 = integral 2raizx , duraizx cdot u^5 = integral 2 , duu^5 e na integral original:

Passo 5

Simplificamos a expressão:
integral 2u^5 , du = 2 integral u^-5 , du
Agora, integramos usando a regra de potência para integrais:
integral u^n , du = u^n+1n+1 + C (onde n neq -1)
Aqui, 2 cdot u^-4-4 + C = -24 u^-4 + C = -12 u^-4 + C , então:

Passo 6

Voltamos à variável original -12 (1 + raizx)^-4 + C substituindo -12 cdot 1(1 + raizx)^4 + C :
Podemos reescrever isso como:

Resposta

A integral é igual a .

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