Calcule as integrais seguintes usando o método da substituição ou o método da integração por partes.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de
em relação a
. Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente usando o método de substituição. Para isso, vamos precisar saber como fazer uma mudança de variável que simplify a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar
. Isso significa que
é igual ao logaritmo natural de
. Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
:
Como
(porque
), podemos substituir
por
na expressão de
:
Passo 3
Agora, substituímos
e
na integral original:
Essa nova integral
pode ser resolvida usando a integração por partes. Vamos lembrar que a integração por partes segue a fórmula:
Escolhemos:
Então, calculamos
e
:
Aplicando a fórmula:
Agora, temos uma nova integral
. Vamos aplicar integração por partes novamente, desta vez com:
Calculando
e
:
Aplicando a fórmula:
Agora, observe que temos a mesma integral
de volta. Vamos chamar essa integral de
:
Somando
dos dois lados:
Dividindo por 2:
Passo 4
Agora, voltamos à variável original
. Sabemos que
e
. Substituindo de volta:
Resposta
A integral de
é igual a:
Onde
é a constante de integração.
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