Calcule as integrais seguintes usando o método da substituição ou o método da integração por partes.
(39) integral cos (ln x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de em relação a . Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente usando o método de substituição. Para isso, vamos precisar saber como fazer uma mudança de variável que simplify a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar dtdx = 1x implies dx = x , dt . Isso significa que dx = e^t , dt é igual ao logaritmo natural de . Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a :
Como (porque ), podemos substituir por na expressão de :

Passo 3

Agora, substituímos integral cos(ln x) , dx = integral cos(t) cdot e^t , dt e integral u , dv = uv - integral v , du na integral original:
u = cos(t) e dv = e^t , dt
Essa nova integral du = -sin(t) , dt e v = e^t pode ser resolvida usando a integração por partes. Vamos lembrar que a integração por partes segue a fórmula:
integral e^t cos(t) , dt = e^t cos(t) - integral e^t (-sin(t)) , dt
Escolhemos:
= e^t cos(t) + integral e^t sin(t) , dt
Então, calculamos u = sin(t) e dv = e^t , dt e du = cos(t) , dt e v = e^t :
integral e^t sin(t) , dt = e^t sin(t) - integral e^t cos(t) , dt
Aplicando a fórmula:
I = e^t cos(t) + e^t sin(t) - I
2I = e^t (cos(t) + sin(t))
Agora, temos uma nova integral I = e^t (cos(t) + sin(t))2 . Vamos aplicar integração por partes novamente, desta vez com:
Calculando e :
Aplicando a fórmula:
Agora, observe que temos a mesma integral de volta. Vamos chamar essa integral de :
Somando dos dois lados:
Dividindo por 2:

Passo 4

Agora, voltamos à variável original I = x (cos(ln x) + sin(ln x))2 . Sabemos que e . Substituindo de volta:

Resposta

A integral de integral cos(ln x) , dx = x [cos(ln x) + sin(ln x)]2 + C é igual a:
Onde é a constante de integração.

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