Calcule as integrais seguintes usando o método da substituição ou o método da integração por partes.
(39)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de em relação a . Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente usando o método de substituição. Para isso, vamos precisar saber como fazer uma mudança de variável que simplify a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar . Isso significa que é igual ao logaritmo natural de . Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a :
Como (porque ), podemos substituir por na expressão de :

Passo 3

Agora, substituímos e na integral original:
Essa nova integral pode ser resolvida usando a integração por partes. Vamos lembrar que a integração por partes segue a fórmula:
Escolhemos:
Então, calculamos e :
Aplicando a fórmula:
Agora, temos uma nova integral . Vamos aplicar integração por partes novamente, desta vez com:
Calculando e :
Aplicando a fórmula:
Agora, observe que temos a mesma integral de volta. Vamos chamar essa integral de :
Somando dos dois lados:
Dividindo por 2:

Passo 4

Agora, voltamos à variável original . Sabemos que e . Substituindo de volta:

Resposta

A integral de é igual a:
Onde é a constante de integração.

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