Calcule as integrais seguintes usando o método da substituição ou o método da integração por partes.
(13) integral arcsen x2 raiz1-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral de . Aqui, a gente vai usar o método da substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas. Vamos precisar saber a derivada da função e entender como manipular expressões com raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para deixar a integral mais simples. Vamos chamar de u = arcsen, x a função que está no numerador da fração:
Agora, precisamos encontrar a derivada de du = ddx (arcsen, x) , dx = 1raiz1 - x^2 , dx em relação a dx = raiz1 - x^2 , du :
Podemos rearranjar essa expressão para encontrar :

Passo 3

Vamos substituir integral arcsen, x2 raiz1-x^2 , dx = integral u2 raiz1 - x^2 cdot raiz1 - x^2 , du e integral u2 , du = 12 integral u , du na integral original:
Simplificando a expressão:

Passo 4

Agora, é só integrar em relação a 12 integral u , du = 12 cdot u^22 + C = u^24 + C :
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Por fim, vamos devolver u^24 + C = (arcsen, x)^24 + C para a variável original :

Resposta

A integral é igual a .

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