Calcule as integrais seguintes usando o método da substituição ou o método da integração por partes.
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Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral . Aqui, estamos trabalhando com integrais que envolvem polinômios de segundo grau no denominador. Para resolver isso, vamos usar o método da substituição, completando o quadrado no denominador para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador completando o quadrado. Temos .
  1. Fatorar o coeficiente de :
    • Extraímos 4 de :
  2. Completar o quadrado dentro dos parênteses:
    • Para completar o quadrado de , pegamos metade do coeficiente de (que é ) e elevamos ao quadrado:
    • Adicionamos e subtraímos dentro dos parênteses:
  3. Simplificar a expressão:
Então, o denominador fica igual a .

Passo 3

Agora, substituímos o denominador simplificado na integral original:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 4:

Passo 4

Agora, reconhecemos que a integral tem a forma padrão:
onde e .

Passo 5

Aplicando a fórmula padrão à nossa integral:
Simplificando:

Resposta

A integral vale .

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