Calcule as integrais seguintes usando o método da substituição ou o método da integração por partes.
(16) integral 4 d x4 x^2+20 x+34

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral . Aqui, estamos trabalhando com integrais que envolvem polinômios de segundo grau no denominador. Para resolver isso, vamos usar o método da substituição, completando o quadrado no denominador para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador completando o quadrado. Temos 4(x^2 + 5x) + 34 .
  1. Fatorar o coeficiente de (52)^2 = 254 :
    • Extraímos 4 de 4(x^2 + 5x + 254 - 254) + 34 = 4((x + 52)^2 - 254) + 34 : 4(x + 52)^2 - 25 + 34 = 4(x + 52)^2 + 9
  2. Completar o quadrado dentro dos parênteses:
    • Para completar o quadrado de , pegamos metade do coeficiente de (que é ) e elevamos ao quadrado:
    • Adicionamos e subtraímos dentro dos parênteses:
  3. Simplificar a expressão:
Então, o denominador fica igual a .

Passo 3

Agora, substituímos o denominador simplificado na integral original:
integral 4 , dx4(x + 52)^2 + 9
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 4:
integral 4 , dx4(x + 52)^2 + 9 = integral dx(x + 52)^2 + (32)^2

Passo 4

Agora, reconhecemos que a integral tem a forma padrão:
integral duu^2 + a^2 = 1a arctan(ua) + C
onde e .

Passo 5

Aplicando a fórmula padrão à nossa integral:
integral dx(x + 52)^2 + (32)^2 = 132 arctan(x + 5232) + C
Simplificando:
23 arctan(2x + 53) + C

Resposta

A integral vale .

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