Calcule as integrais seguintes usando o método da substituição ou o método da integração por partes.
(16)
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Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral
. Aqui, estamos trabalhando com integrais que envolvem polinômios de segundo grau no denominador. Para resolver isso, vamos usar o método da substituição, completando o quadrado no denominador para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador completando o quadrado. Temos
.
- Fatorar o coeficiente de
: - Extraímos 4 de
:
- Extraímos 4 de
- Completar o quadrado dentro dos parênteses:
- Para completar o quadrado de
, pegamos metade do coeficiente de (que é ) e elevamos ao quadrado: - Adicionamos e subtraímos
dentro dos parênteses:
- Para completar o quadrado de
- Simplificar a expressão:
Então, o denominador
fica igual a
.
Passo 3
Agora, substituímos o denominador simplificado na integral original:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 4:
Passo 4
Agora, reconhecemos que a integral tem a forma padrão:
onde
e
.
Passo 5
Aplicando a fórmula padrão à nossa integral:
Simplificando:
Resposta
A integral vale
.
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