Calcule as integrais seguintes usando o método da substituição ou o método da integração por partes.
(19) integral cos raizxraizx d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral integral cos raizxraizx dx. Esse tipo de integral envolve funções trigonométricas e radicais, então vamos usar o método da substituição para facilitar. Vamos precisar identificar uma parte da função para substituir por uma variável nova, o que simplifica a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos deixar u = raizx. Assim, x = u^2.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar dx em termos de du. Derivando ambos os lados de x = u^2 em relação a u, temos:
dx = 2u , du

Passo 4

Substituímos x e dx na integral original:
integral cos raizxraizx dx = integral cos uu cdot 2u , du

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da integral:
integral cos uu cdot 2u , du = 2 integral cos u , du
Aqui, o u no numerador e denominador cancela, deixando uma integral mais simples.

Passo 6

Agora, calculamos a integral de cos u:
2 integral cos u , du = 2 sin u + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, substituímos u de volta por raizx:
2 sin u + C = 2 sin raizx + C

Resposta

2 sin raizx + C

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