Calcule as integrais seguintes usando o método da substituição ou o método da integração por partes.
(3) integral(e^2 t+2)^1 / 3 e^2 t d t

Passo 1

Vamos resolver a integral . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente usando o método da substituição. Para isso, vamos identificar uma parte da integral que pode ser simplificada fazendo uma substituição adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a expressão dentro da integral. Observamos que temos u = e^2 t + 2 elevado a um expoente e também a derivada de está presente. Assim, podemos definir:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de dudt = 2 e^2 t em relação a du = 2 e^2 t , dt para substituir na integral. Diferenciando ambos os lados:
Isso significa que:

Passo 4

Queremos expressar e^2 t , dt = du2 em termos de . Da equação anterior:

Passo 5

Substituindo integral(e^2 t+2)^1 / 3 e^2 t , dt = integral u^1/3 cdot du2 = 12 integral u^1/3 , du e na integral original:

Passo 6

Agora, resolvemos a integral integral u^n , du = u^n+1n+1 + C . Usando a regra da potenciação para integrais:
integral u^1/3 , du = u^4/34/3 + C = 34 u^4/3 + C
Onde , então:

Passo 7

Voltando à nossa substituição inicial 12 cdot 34 u^4/3 + C = 38 (e^2 t + 2)^4/3 + C :

Resposta

A integral 38 (e^2 t + 2)^4/3 + C é igual a:

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