Calcule as integrais seguintes usando o método da substituição ou o método da integração por partes.
(15) integral 3 d xx ln ^2 3 x

Passo 1

Vamos resolver a integral . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente usando o método da substituição. Para resolver essa integral, vamos precisar identificar uma função dentro do integrando que possa ser substituída por uma variável mais simples, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = ln 3x
Isso significa que é igual ao logaritmo natural de .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 1x em relação a du = 1x dx para substituir dx = x , du na integral. Derivando ambos os lados:
Isso implica que:
Ou seja:

Passo 4

Substituindo integral 3 , dxx (ln 3x)^2 = 3 integral x , dux u^2 e 3 integral duu^2 na integral original:
Simplificando os que se cancelam:

Passo 5

Agora, temos uma integral mais simples:
3 integral u^-2 , du
A integral de integral u^-2 , du = -u^-1 + C em relação a é:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Multiplicando pelo 3:
3 (-u^-1) + C = -3u + C

Passo 7

Por fim, substituímos -3ln 3x + C de volta para :

Resposta

A integral -3ln 3x + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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